「HAOI 2018」染色

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\(Solution\)

观察题目发现恰好出现了\(s\)次的颜色有\(k\)种,不太好弄.

所以我们设\(a[i]\)表示为恰好出现了\(s\)次的颜色有至少\(i\)种的方案数,然后容斥一下

我们看一看\(a[i]\)怎么求？

这很明显可以一眼看出来

\[a[i]=C_m^i*C_n^{is}*(m-i)^{n-is}*\frac{(is)!}{{s!}^i}
\]

在\(m\)个颜色中选则\(i\)个,在\(n\)个位置选择\(i*s\)个,将这\(i*s\)个数全排列(有重复元素)，剩下的位置随便选

算完这个以后可以开始容斥求答案,设答案数组为\(F[i]\)

\[F[i]=\sum_{j=i}^{limit}(-1)^{j-i}*C_j^i*a[j]
\]

再将组合数拆开:

\[F[i]=\sum_{j=i}^{limit}(-1)^{j-i}*\frac{j!}{(j-i)!*i!}*a[j]
\]

\[F[i]*i!=\sum_{j=i}^{limit}\frac{(-1)^{j-i}}{(j-i)!}*a[j]*j!
\]

令\(f[i]=\frac{(-1)^{i}}{(i)!},g[i]=a[j]*j!\)

所以原式为:

\[F[i]*i!=\sum_{j=i}^{limit}f[j-i]*g[i]
\]

然后将\(f\)数组翻转,原式为:

\[F[i]*i!=\sum_{j=i}^{limit}f[n-j+i]*g[i]
\]

然后发现\(j\)从\(1\)开始对答案没有影响,这又是个卷积,又因为有\(\%\)数,所以直接\(ntt\)求即可

\(Code\)

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#define int long long
#define rg register
#define file(x) freopen(x".in","r",stdin);freopen(x".out","w",stdout);
using namespace std;
const int mod=1004535809;
const int N=10000001+10;
int read(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();
    return f*x;
}
int f[N],g[N],r[N],limit=1,w[N],inv[N],jc[N];
int ksm(int a,int b){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod,b>>=1;
	}
	return ans;
}
void fft(int *a,int opt){
    for(int i=0;i<=limit;i++)
        if(i<r[i])
            swap(a[i],a[r[i]]);
    for(int i=1;i<limit;i<<=1){
        int w=ksm(3,(mod-1)/(i*2));
		if(opt==-1) w=ksm(w,mod-2);
        for(int j=0;j<limit;j+=i<<1){
            int l=1;
            for(int k=j;k<j+i;k++){
                int p=l*a[k+i]%mod;
                a[k+i]=(a[k]-p+mod)%mod;
                a[k]=(a[k]+p)%mod;
                l=l*w%mod;
            }
        }
    }
}
int C(int n,int m){
	return jc[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
main(){
    int n=read(),m=read(),s=read(),l=0,M=min(m,n/s),ans=0;
	for(int i=0;i<=m;i++)
		w[i]=read();
    while(limit<=M<<1)
        limit<<=1,l++;
	jc[0]=1;
	for(int i=1;i<=max(n,m);i++)
		jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
	inv[max(n,m)]=ksm(jc[max(n,m)],mod-2);
	for(int i=max(n,m)-1;i>=0;i--)
		inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
	for(int i=0;i<=M;i++)
		g[i]=C(m,i)*C(n,i*s)%mod*jc[s*i]%mod*ksm(inv[s],i)%mod*ksm(m-i,n-i*s)%mod;
	for(int i=0;i<=M;i++){
		g[i]=g[i]*jc[i]%mod;
		f[M-i]=(ksm(-1,i)*inv[i]+mod)%mod;
	}
    for(int i=0;i<limit;i++)
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    fft(f,1),fft(g,1);
    for(int i=0;i<limit;i++)
        f[i]=f[i]*g[i]%mod;
    fft(f,-1);
    for(int i=0;i<=M;i++)
        ans=(ans+f[i+M]*ksm(limit,mod-2)%mod*inv[i]%mod*w[i]%mod)%mod;
	printf("%lld",ans);
}