CodeForces 570E DP Pig and Palindromes

题意：给出一个n行m列的字符矩阵，从左上角走到右下角，每次只能往右或者往下走，求一共有多少种走法能得到回文串。

分析：

可以从两头开始考虑，每次只走一样字符的格子，这样得到的两个字符串拼起来之后就是一个回文串。

设d(step, x1, y2, x2, y2)表示从左上角(1, 1)z往右下走step个格子走到(x1, y1)，同时从右下角(n, m)往左上走step个格子走到(x2, y2)，而且两边得到一样字符串的方法数。

一开始判断一下左上角和右下角的字符是不是一样，若一样，d(1, 1, 1, n, m) = 1，若不一样则直接输出0.

状态转移：

如果s[x1][y2] = s[x2][y2]，而且x1 ≤ y1 && y1 ≤ y2

d(step, x1, y1, x2, y2) = d(step - 1, x1 - 1, y1, x2 + 1, y2) + d(step - 1, x1, y1 - 1, x2 + 1, y2) + d(step - 1, x1 - 1, y1, x2, y2 + 1) + d(step - 1, x1, y1- 1, x2, y2+ 1)

这是一个五维的状态空间太大了，空间优化：

首先如果已知step的话，x1和y1只要知道其中一个，就可以计算出另一个，x2和y2同理，所以我们可以把y1和y2去掉，这样把五维优化成三维。

另外一个优化就是，我们在递推的时候是按照step从小到大递推的，所以可以用滚动数组来优化，这样空间复杂度为O(n^2)。

另外要考虑一下奇偶的问题：

如果整个字符串长度为奇数的话，两个字符串会相遇在同一个格子

如果整个字符串长度为偶数的话，两个字符串会走到相邻的格子，要么是同一行左右相邻，要么是同一列上下相邻

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 using namespace std;

 typedef long long LL;

 const int maxn =  + ;
 const int MOD = ;

 int d[][maxn][maxn];

 char G[maxn][maxn];

 void add(int& a, int b) { a += b; if(a >= MOD) a -= MOD; }

 int main()
 {
     //freopen("in.txt", "r", stdin);

     int n, m;
     scanf("%d%d", &n, &m);
     for(int i = ; i <= n; i++) scanf("%s", G[i] + );

     if(G[][] != G[n][m]) { puts(""); return ; }

     d[][][n] = ;
     int cur = ;
     for(int s = ; s <= (n + m) / ; s++)
     {
         cur ^= ;
         memset(d[cur], , sizeof(d[cur]));
         for(int x1 = ; x1 <= s; x1++)
             for(int x2 = n; x2 >= n - s + ; x2--)
             {
                 int y1 = s +  - x1;
                 int y2 = n + m +  - s - x2;
                 if(x1 > x2 || y1 > y2) continue;
                 if(G[x1][y1] == G[x2][y2])
                 {
                     add(d[cur][x1][x2], d[cur^][x1][x2]);
                     add(d[cur][x1][x2], d[cur^][x1-][x2]);
                     add(d[cur][x1][x2], d[cur^][x1][x2+]);
                     add(d[cur][x1][x2], d[cur^][x1-][x2+]);
                 }
             }
     }

     int ans = ;
     if((n + m) & )
     {
         for(int i = ; i <= n; i++) add(ans, d[cur][i][i]), add(ans, d[cur][i][i+]);
     }
     else
     {
         for(int i = ; i <= n; i++) add(ans, d[cur][i][i]);
     }

     printf("%d\n", ans);

     return ;
 }

代码君