POJ 2480 求每一个数对于n的最大公约数的和
这里是枚举每一个最大公约数p,那么最后求的是f(n) = sigma(p*phi(n/p)) phi()为欧拉函数
这里可以试着算一下,然后会发现这个是积性函数的
那么只要考虑每一类质数分开算,最后乘在一起就行了
而对于f(p^k) p为素数的求解可以这样考虑
对于前一个f(p^(k-1)) , 那么f(p^k)相当于把f(p^(k-1)) 中的所有情况都乘上了p , 然后加上新产生的gcd()=1的情况,这个利用过程中的欧拉函数定理求解
phi(n) = (p1-1)*p1^(k1-1)....+(pn-1)*pn^(kn-1)
这里只能在只含有唯一素数因子的情况下计算,因为如果有别的素数因子,新产生的gcd除了1以外,还有当前乘上的因子p之外的素数因子考虑不到,会使答案变小,
这里大概想想就可以知道了
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 100000
int prime[N+] , tot , fai[N+];
bool check[N+]; void get_prime()
{
for(int i= ; i<=N ; i++){
if(!check[i]){
prime[tot++] = i;
fai[i] = i-;
}
for(int j= ; j<tot ; j++){
if((ll)prime[j]*i>N) break;
check[prime[j]*i] = true;
if(i%prime[j]==){
fai[i*prime[j]] = fai[i]*prime[j];
break;
}else fai[i*prime[j]] = fai[i]*(prime[j]-);
}
}
} void solve(int n)
{
/*这里求出一个gcd(i,n)=1的个数,就是求n的欧拉函数phi(n)
phi(n) = (p1-1)*p1^(k1-1)....+(pn-1)*pn^(kn-1)
*/
ll ret = ;
for(int i= ; i<tot ; i++){
if(prime[i]>n) break;
int cnt = ;
ll phi = , tmp = ;
while(n%prime[i]==){
if(!cnt) phi = prime[i]-;
else phi = phi*prime[i];
tmp = tmp*prime[i]+phi;
cnt++;
n/=prime[i];
}
ret = ret*tmp;
}
if(n>){
ret = ret*(*(ll)n-); //这里的n可能是超过1e9的整数,*2有可能超int,要注意
// if(ret<0) cout<<"last "<<n<<" "<<(2*n-1)<<" "<<ret<<endl;
}
printf("%I64d\n" , ret);
}
int main() {
// freopen("a.in" , "r" , stdin);
// freopen("out.txt" , "w" , stdout);
get_prime();
int n;
while(~scanf("%d" , &n)){
solve(n);
}
}
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