[实变函数]2.5 Cantor 三分集

1 Cantor 三分集的构造:                $$\bex P=\cap_{n=1}^\infty F_n.                   \eex$$

2 Cantor 三分集的性质

(1) $P$ 是完备集.

(2) $P$ 没有内点:                    $$\bex     x\in P\ra \forall\ n, x\in F_n\ra                    U\sex{x,3^{-n}}\not\subset F.                    \eex$$

(3) $[0,1]\bs P$ 是可数个互不相交的开区间的并, 总长为 $1$:                    $$\bex     \frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2^2}{3^3}+\cdots=1.                    \eex$$

(4) $P$ 的基数为 $c$:                    $$\bex     P\ni 2\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{3^n}\ (a_n=0,1)\mapsto \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n}\in [0,1].                    \eex$$

(5) 总结: Cantor 三分集是一个测度为零且基数为 $c$ 的疏朗完备集.

(这里, 一集 $E$ 是疏朗集 $\lra E^{-o}=\vno$, 有个等价的说法见疏集与稠集).

(6) 作业: Page 51 T 10.