$Miller Rabin$总结
$ Miller Rabin $ 总结:
这是一个很高效的判断质数的方法,可以在用 $ O(logn) $ 的复杂度快速判断一个数是否是质数。它运用了费马小定理和二次探测定理这两个筛质数效率极高的方法。
费马小定理判质数:
$ a^{p-1}\equiv1\mod p $
这个定理在p为质数的时候是成立的,所以我们可以如果要判断p是否是质数,可以 $ rand $ 几个a值然后照着这个式子来算,如果算出来不是1那说明p一定不是质数。
但在我们的自然数中,如果照着这个式子算出来的答案为1,也是有可能不是质数的。更有一类合数,它用费马小定理不管 $ rand $ 什么数都判不掉。这类合数称为Carmichael数,其中一个例子就是561(哇,居然这么小)。
二次探测定理:
因为Carmichael数的存在,使得我们难以高效判断质数,所以我们还需要加入第二种判断方法使这种伪算法更优秀!而二次探测无疑就是为我们量身定制的算法,因为它要建立在同余式右边为1的基础上(而我们的费马小定理不正好满足了要求吗?)
若 $ b^2\equiv1\mod p $ 且 $ p $ 为质数 $ => $ 则 $ p $ 一定可以被 $ b-1 $ 和 $ b+1 $ 其中一个整除
这是二次探测定理,原理很简单,我们将上面的同余式左右都减1,根据平方差公式可以得出 $ (b-1)(b+1)\equiv0\mod p $ 这其实就代表着等式左边是模数的倍数,但若模数p是质数,则 $ (b-1) $ 和 $ (b+1) $ 必定存在一个是p的倍数,所以要么 $ b-1=p\quad(b=1) $ 或者 $ b+1=p\quad(b=p-1) $ 如果不满足则p一定不是质数!然后我们还可以发现若 $ b=1 $ 我们又可以进行新一轮二次探测!
根据这个道理,我们可以进行二次探测:因为 $ a^{p-1}\equiv1\mod p $ 如果 $ p-1 $ 为偶数的话就可以化成: $ a{(\frac{p-1}{2}){2}}\equiv1\mod p $ 这样就变成了二次探测的基本式。
inline ll ksc(ull x,ull y,ll p){//O(1)快速乘(防爆long long)
return (x*y-(ull)((lb)x/p*y)*p+p)%p;
}
inline ll ksm(ll x,ll y,ll p){//快速幂
ll res=1;
while(y){
if(y&1)res=ksc(res,x,p);
x=ksc(x,x,p); y>>=1;
}return res;
}
inline bool mr(ll x,ll p){
if(ksm(x,p-1,p)!=1)return 0;//费马小定理
ll y=p-1,z;
while(!(y&1)){//一定要是能化成平方的形式
y>>=1; z=ksm(x,y,p);//计算
if(z!=1&&z!=p-1)return 0;//不是质数
if(z==p-1)return 1;//一定要为1,才能继续二次探测
}return 1;
}
inline bool prime(ll x){ if(x<2)return 0;
if(x==2||x==3||x==5||x==7||x==43) return 1;
return mr(2,x)&&mr(3,x)&&mr(5,x)&&mr(7,x)&&mr(43,x);
}
这样子加上二次探测之后,明显就能高效很多,基本上卡不了,大概要每 $ 10^{10} $ 个数才会出现一个判不掉的,这个概率可以说十分微小,可以忽略!
$ Miller Rabin $ 所需要的一些算法:(快速幂) (快速乘)
随机推荐
- AGC005F Many Easy Problems(NTT)
先只考虑求某个f(k).考虑转换为计算每条边的贡献,也即该边被所选连通块包含的方案数.再考虑转换为计算每条边不被包含的方案数.这仅当所选点都在该边的同一侧.于是可得f(k)=C(n,k)+ΣC(n,k ...
- MVC 多语言
最近项目需要用到多语言. 研究了一下,也参考了很多技术文章. 这里贴一下参考地址:http://www.cnblogs.com/unintersky/p/3969612.html 主要步骤我这里简述一 ...
- IDEA如何刷新pom文件
被新手问到了“IDEA如何刷新pom文件?”这个问题,想来这是一个不好意思问的常犯的错误吧. 在IDEA中,修改了pom.xml文件,添加了依赖以后,一般会弹出以下这个警告来. 点击[Import C ...
- 【POJ3045】Cow Acrobats(贪心)
BUPT2017 wintertraining(16) #4 B POJ - 3045 题意 n(1 <= N <= 50,000) 个牛,重wi (1 <= W_i <= 1 ...
- BZOJ 4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 (NTT + 第二类斯特林数)
题意 给你一个数 \(n\) 求这样一个函数的值 : \[\displaystyle f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i} \begin{Bmatrix} i \\ j ...
- BZOJ 2901: 矩阵求和
2901: 矩阵求和 Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 256 MBSubmit: 411 Solved: 216[Submit][Status][Discuss] ...
- redis中的数据类型
redis不是一个纯文本kv存储,实际上,它是一个数据结构服务,支持不同类型的value. 包含以下类型: 1.Binary-safe strings. 二进制安全的字符串 2.Lists: coll ...
- 洛谷P3474 KUP-Plot purchase
简要题意: 给你一个n * n的非负矩阵,求问是否有子矩阵满足和在[k, 2k]之间.若有输出方案.n<=2000. 解: 首先n4暴力很好想(废话),然后发现可以优化成n3log2n,但是还是 ...
- 在 CentOS 6.x 上安装最新版本的 git
在 CentOS 的默认仓库中有git,所以最简单的方法是: $ sudo yum install git 这种方法虽然简单,但是一般仓库里的版本更新不及时,比如 CentOS 仓库中的 git 最新 ...
- 邮件发送-》http://service.mail.qq.com/cgi-bin/help?subtype=1&&id=28&&no=1001256
昨天使用发送邮件报了一个错 http://service.mail.qq.com/cgi-bin/help?subtype=1&&id=28&&no=1001256 主 ...