$Miller Rabin$总结

$ Miller Rabin $ 总结：

这是一个很高效的判断质数的方法，可以在用 $ O(logn) $ 的复杂度快速判断一个数是否是质数。它运用了费马小定理和二次探测定理这两个筛质数效率极高的方法。

费马小定理判质数：

$ a^{p-1}\equiv1\mod p $

这个定理在p为质数的时候是成立的，所以我们可以如果要判断p是否是质数，可以 $ rand $ 几个a值然后照着这个式子来算，如果算出来不是1那说明p一定不是质数。

但在我们的自然数中，如果照着这个式子算出来的答案为1，也是有可能不是质数的。更有一类合数，它用费马小定理不管 $ rand $ 什么数都判不掉。这类合数称为Carmichael数，其中一个例子就是561（哇，居然这么小）。

二次探测定理：

因为Carmichael数的存在，使得我们难以高效判断质数，所以我们还需要加入第二种判断方法使这种伪算法更优秀！而二次探测无疑就是为我们量身定制的算法，因为它要建立在同余式右边为1的基础上（而我们的费马小定理不正好满足了要求吗？）

若 $ b^2\equiv1\mod p $ 且 $ p $ 为质数 $ => $ 则 $ p $ 一定可以被 $ b-1 $ 和 $ b+1 $ 其中一个整除

这是二次探测定理，原理很简单，我们将上面的同余式左右都减1，根据平方差公式可以得出 $ (b-1)(b+1)\equiv0\mod p $ 这其实就代表着等式左边是模数的倍数，但若模数p是质数，则 $ (b-1) $ 和 $ (b+1) $ 必定存在一个是p的倍数，所以要么 $ b-1=p\quad(b=1) $ 或者 $ b+1=p\quad(b=p-1) $ 如果不满足则p一定不是质数！然后我们还可以发现若 $ b=1 $ 我们又可以进行新一轮二次探测！

根据这个道理，我们可以进行二次探测：因为 $ a^{p-1}\equiv1\mod p $ 如果 $ p-1 $ 为偶数的话就可以化成： $ a^{{(\frac{p-1}{2})}{2}}\equiv1\mod p $ 这样就变成了二次探测的基本式。

inline ll ksc(ull x,ull y,ll p){//O(1)快速乘（防爆long long）
    return (x*y-(ull)((lb)x/p*y)*p+p)%p;
}

inline ll ksm(ll x,ll y,ll p){//快速幂
    ll res=1;
    while(y){
        if(y&1)res=ksc(res,x,p);
        x=ksc(x,x,p); y>>=1;
    }return res;
}

inline bool mr(ll x,ll p){
    if(ksm(x,p-1,p)!=1)return 0;//费马小定理
    ll y=p-1,z;
    while(!(y&1)){//一定要是能化成平方的形式
        y>>=1; z=ksm(x,y,p);//计算
        if(z!=1&&z!=p-1)return 0;//不是质数
        if(z==p-1)return 1;//一定要为1，才能继续二次探测
    }return 1;
}

inline bool prime(ll x){ if(x<2)return 0;
    if(x==2||x==3||x==5||x==7||x==43) return 1;
    return mr(2,x)&&mr(3,x)&&mr(5,x)&&mr(7,x)&&mr(43,x);
}

这样子加上二次探测之后，明显就能高效很多，基本上卡不了，大概要每 $ 10^{10} $ 个数才会出现一个判不掉的，这个概率可以说十分微小，可以忽略！

$ Miller Rabin $ 所需要的一些算法：（快速幂） （快速乘）