hdu 4549 M斐波那契数列(快速幂 矩阵快速幂 费马小定理)

题目链接http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4549；

题目是中文的很容易理解吧。可一开始我把题目看错了，这毛病哈哈。 一开始我看错题时，就用了一个快速幂来解，不用说肯定wa,看题目的通过率也不高，我想会不会有啥坑啊。然而我就是那大坑，哈哈。

不说了，直接说题吧，先讨论k=1,2,3;时的解。这应该会解吧，不多说了；

从第四项开始f(4)=a^1+b^2;f（5）=a^2+b^3;f(6)=a^3+b^5......; 看出来了吧，a上的指数成斐波那契数列，b的也成，而且a的指数是b的前一项；

那么就打表求斐波那契数列呗，不敢，范围太大，又爆内存又超时的。

f(n)=a^k(n-4)+b^k(n-3);其中n>=4;k(0)=1;k(1)=2;

用矩阵来求斐波那契数列的相邻两项有[k[n-2],k[n-1]]*[0 1]

[1 1]

上式等于[k[n-1],k[n]];

那么要求[k[n-4],k[n-3]]=[1,2]*[0 1]^(n-3)

[1 1]

这样就可以用矩阵快速幂来求k[n-4],k[n-3]了；

但光这样还不够，在矩阵快速幂过程中还得取模，不然会溢出。

由费马小定理在p为素数的情况下对任意的整数x都有x^p==x(mod p)

;如果x不能被p整除有x^(p-1)=1(mod p);由于a,b<1e9;所以不能被1e9+7整除， 求出了k[n],则a^k[n]%p=a^(k[n]%(p-1))%p;

证明如下： k[n]=m*(p-1)+d;那么a^k[n]%p=a^[(m*(p-1))+d]%p=(a^[m*(p-1)]%p*a^(d)%p)%p;

由费马小定理可知a^(m*(p-1))%p=1; 而d=k[n]%(p-1);得证；

所以矩阵快速幂时要对1e+6取模就行了； 当k(n)求出来是再进行快速幂运算就可以了，复杂度为2*log2(n); 注意要开longlong不然会溢出。

下面看代码：

  1 #include<stdio.h>
  2 #include<string.h>
  3 #include<iostream>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<stdlib.h>
  6 #include<math.h>
  7 const long long N=1e9+7;
  8 const long long M=1e9+6;
  9 typedef long long ll;
 10 void kk(ll y);
 11 ll pp(ll x,ll y);
 12 ll b[2][2];
 13 ll a[2][2];
 14 using namespace std;
 15 int main(void)
 16 {
 17     ll i,j,k,p,q,n,m;
 18
 19     while(scanf("%lld%lld%lld",&p,&q,&k)!=EOF)
 20     {
 21         if(k==0)
 22         {
 23             printf("%lld\n",p%N);
 24
 25         }
 26         else if(k==1)
 27         {
 28             printf("%lld\n",q%N);
 29
 30         }
 31         else if(k==2)
 32         {
 33             printf("%lld\n",(p%N*q%N)%N);
 34         }
 35         else
 36         {
 37             k=k-3;
 38             kk(k);
 39             ll p1=(b[0][0]%M+2*b[1][0]%M)%M;//求的k(n-4)
 40             ll p2=(b[0][1]%M+2*b[1][1]%M)%M;//k[n-3]
 41             ll x1=pp(p,p1);//a^k(n-4);
 42             ll x2=pp(q,p2);//b^k(n-3);
 43             ll dd=(x1*x2)%N;//d=(a^k(n-4)*b^k(n-3))%N;
 44             printf("%lld\n",dd);
 45
 46         }
 47
 48     }
 49
 50     return 0;
 51
 52 }
 53
 54 ll pp(ll x,ll y)//快速幂
 55 {
 56     ll p=x;
 57     ll q=1;
 58
 59     while(y)
 60     {
 61         if(y&1)
 62         {
 63             q=(q%N*p%N)%N;
 64         }
 65         p=(p%N*p%N)%N;
 66
 67         y=y/2;
 68     }
 69     return q;
 70
 71 }
 72
 73
 74 void kk(ll y)//矩阵快速幂  形式和快速幂基本一样。
 75 {
 76     ll i,j,k;
 77     ll x1,x2,x3,x4;
 78     a[0][0]=0;//a为变换矩阵；
 79     a[0][1]=1;
 80     a[1][0]=1;
 81     a[1][1]=1;
 82     b[0][0]=1;//b为单位阵；
 83     b[0][1]=0;
 84     b[1][0]=0;
 85     b[1][1]=1;
 86
 87     while(y)
 88     {
 89         if(y&1)
 90         {
 91             x1=((b[0][0]*a[0][0])%M+(b[0][1]*a[1][0])%M)%M;
 92             x2=((b[0][0]*a[0][1])%M+(b[0][1]*a[1][1])%M)%M;
 93             x3=((b[1][0]*a[0][0])%M+(b[1][1]*a[1][0])%M)%M;
 94             x4=((b[1][0]*a[0][1])%M+(b[1][1]*a[1][1])%M)%M;
 95             b[0][0]= x1;
 96             b[0][1]=x2;
 97             b[1][0]=x3;
 98             b[1][1]=x4;
 99         }
100         x1=((a[0][0]*a[0][0])%M+(a[0][1]*a[1][0])%M)%M;
101         x2=((a[0][0]*a[0][1])%M+(a[0][1]*a[1][1])%M)%M;
102         x3=((a[1][0]*a[0][0])%M+(a[1][1]*a[1][0])%M)%M;
103         x4=((a[1][0]*a[0][1])%M+(a[1][1]*a[1][1])%M)%M;
104         a[0][0]=x1;
105         a[0][1]=x2;
106         a[1][0]=x3;
107         a[1][1]=x4;
108         y/=2;
109
110     }
111
112
113
114
115 }