CF1560D Make a Power of Two 题解

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给定一个整数 \(n\)。每次操作你可以做两件事情中的一件：

• 删去这个数中的一个数位（如果这个数只剩下一位，则可以把它删空）。
• 在这个数的右边添加一个数位。

你可以以任意顺序执行无限次操作。但请注意，在删去一个数位之后，这个数可能包含前导零（例如在删去 \(301\) 中的 \(3\) 这一位之后，这个数就会变成 \(01\) 而不是 \(1\)）。

你需要执行若干次操作，使得这个数最终变成一个 \(2\) 的次幂，或者说存在一个非负整数 \(k\) 使得这个数最终是 \(2^k\)。最终答案不能包含前导零。请求出需要执行的操作的最小次数。

数据范围：\(t\) 组数据，\(1\leqslant t\leqslant 10^4\)，\(1\leqslant n\leqslant 10^9\)。

Solution

这题目讲究的就是一个枚举。由于 \(2\) 的次幂是呈指数级增长的，因此在 \(10^{18}\) 的范围以内的 \(2\) 的次幂也只有 \(59\) 个。所以我们可以直接枚举每一个 \(10^{18}\) 以内的 \(2\) 的次幂，求出当前数修改成每个 \(2\) 的次幂需要的最小操作次数，取最小值即可。这种枚举方法在本题中亲测可过。

其次，如何求出当前数修改成 \(2\) 的次幂的最小操作次数？我们不妨将数转化为字符串，然后考虑尽量多地去做第一种操作，留下 \(2\) 的次幂或者 \(2\) 的次幂的一个前缀，因此这可以转化为求出第一个数字串的最长前缀子序列，直接拿一个指针比对即可。设第一个数字串的长度是 \(l_1\)，第二个数字串的长度是 \(l_2\)，求出的第一个串的最长前缀子序列的长度为 \(len\)，那么最小修改次数就是 \(l_1+l_2-2\cdot len\)，因为需要 \(l_1-len\) 次第一种操作将不是子序列中的数字删除，另外还需要 \(l_2-len\) 次第二种操作将 \(2\) 的次幂的前缀变为 \(2\) 的次幂。

注意这里要枚举到 \(10^{18}\)，因为它可能在这个数的右边添加一个数位，所以直接枚举到 \(10^9\) 显然无法枚举完整所有的情况。

Code

namespace Solution {
	const int N = 67;
	int cnt;
	string ans[N];

	inline string ll_to_str(ll x) {
		string ans = "";
		ll p = x;
		while(p) ans += (p % 10 + '0'), p /= 10;
		reverse(ans.begin(), ans.end());
		return ans;
	}
	ii solve(string a, string b) {
		int lena = a.size(), lenb = b.size(), j = 0;
		F(int, i, 0, lenb - 1) if(b[i] == a[j]) ++j;
		return lenb + lena - 2 * j;
	}

	iv Main() {
		for(ll i = 1; i <= 1e18; ans[++cnt] = ll_to_str(i), i <<= 1ll);
		MT {
			string s; cin >> s;
			int res = 0x3f3f3f3f;
			F(int, i, 1, cnt) res = min(res, solve(ans[i], s));
			println(res);
		}
		return;
	}
}