POJ 2888 Magic Bracelet（burnside引理+矩阵）

题意：一个长度为n的项链，m种颜色染色每个珠子。一些限制给出有些颜色珠子不能相邻。旋转后相同视为相同。有多少种不同的项链？

思路：这题有点综合，首先，我们对于每个n的因数i，都考虑这个因数i下的不变置换个数，然后乘以(n/i)的欧拉函数加到ans上面，然后再让ans乘以n在模p下的逆元。至于怎么求因数i下的不变置换个数，相信大家都做过没有限制的，至于有限制的，大家可以考虑一下这样：初始数组a[m][m]都为1，对于每个限制x,y,都令a[x][y]=a[y][x]=0,我们有一个数列：b1,b2,b3,b4...bm，那么对于每个i∈[1,m-1]，都有a[bi][bi+1]=1，这样想到了什么？就是矩阵乘法，对于刚刚的矩阵a我们让s=a^i，然后把每个a[i][i]加起来，这样就代表：每个i出发又回到i的方法数，这样就变成因数i下的不变置换个数了！

 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 const int Mod=;
 int a[][],b[][],c[][],s[][],n,m,K;
 int read(){
     char ch=getchar();
     int t=,f=;
     while (ch<''||ch>''){
         if (ch=='-') f=-;
         ch=getchar();
     }
     while (''<=ch&&ch<=''){
         t=t*+ch-'';
         ch=getchar();
     }
     return t*f;
 }
 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
     if (b==){
         x=;
         y=;
         return;
     }
     exgcd(b,a%b,x,y);
     int t=x;
     x=y;
     y=(t-a/b*y);
 }
 int inv(int n){
     int A,B,x,y;
     A=n;B=Mod;
     exgcd(A,B,x,y);
     return (x+Mod)%Mod;
 }
 int euler(int n){
     int res=n,a=n;
     for (int i=;i*i<=n;i++)
         if (a%i==){
             res=res/i*(i-);
             while (a%i==) a/=i;
         }
     if (a>) res=res/a*(a-);
     return res%Mod;
 }
 void mult_matrix1(){
     for (int i=;i<=m;i++)
      for (int j=;j<=m;j++)
       c[i][j]=;
     for (int i=;i<=m;i++)
      for (int j=;j<=m;j++)
       for (int k=;k<=m;k++)
        c[i][j]=(c[i][j]+s[i][k]*b[k][j])%Mod;
     for (int i=;i<=m;i++)
      for (int j=;j<=m;j++)
        s[i][j]=c[i][j];
 }
 void mult_matrix2(){
     for (int i=;i<=m;i++)
      for (int j=;j<=m;j++)
       c[i][j]=;
     for (int i=;i<=m;i++)
      for (int j=;j<=m;j++)
       for (int k=;k<=m;k++)
        c[i][j]=(c[i][j]+b[i][k]*b[k][j])%Mod;
     for (int i=;i<=m;i++)
      for (int j=;j<=m;j++)
        b[i][j]=c[i][j];
 }
 int work(int x){
     for (int i=;i<=m;i++)
      for (int j=;j<=m;j++)
       b[i][j]=a[i][j],s[i][j]=;
     int ans=;
     for (int i=;i<=m;i++)
       s[i][i]=;
     while (x){
         if (x%) mult_matrix1();
         mult_matrix2();
         x/=;
     }
     for (int i=;i<=m;i++) ans=(ans+s[i][i])%Mod;
     return ans;
 }
 int main(){
     int T=read();
     while (T--){
        n=read();m=read();K=read();
        for (int i=;i<=m;i++)
          for (int j=;j<=m;j++)
            a[i][j]=;
        for (int i=;i<=K;i++){
             int x=read(),y=read();
             a[x][y]=a[y][x]=;
        }
        int ans=;
        for (int i=;i*i<=n;i++)
         if (n%i==){
             ans=(ans+work(i)*euler(n/i))%Mod;
             if (i*i!=n)
             ans=(ans+work(n/i)*euler(i))%Mod;
         }
        ans=(ans*inv(n%Mod))%Mod;
        printf("%d\n",ans);
     }
 }