C++分治策略实现快速排序

问题描述：

给定一个未知顺序的n个元素组成的数组，现要利用快速排序算法对这n个元素进行非递减排序。

细节须知：

（1）代码实现了利用递归对数组进行快速排序，其中limit为从已有的随机数文件中输入的所要进行排序的数据的数量（生成随机数并写入文件的过程已在前篇中写出）。

（2）算法主要利用哨兵元素对数据进行分块，递归无限细分之后实现排序。

（3）代码同样利用clock函数对算法的执行时间进行计算以进行算法的效率评估。

（4）为了验证排序结果，代码实现了将排序后的内容输出到同文件夹下的sort_number.txt文件中。

算法原理：

它的完成过程主要是将数组分解为两部分，然后分别对每一部分排序。在划分数组时，是将所有小于某个哨兵元素的项目放到该项目之前，将所有大于该哨兵元素的项目放到该项目之后。哨兵元素可以是任意项目，为方便起见，通常直接选择第一个项目。因而可以总结为三步：（1）分解；（2）递归求解；（3）合并。其中，算法的核心部分为对数组进行划分，将小于x的元素放在原数组的左半部分，将大于x的元素放在原数组的右半部分。

 #include <iostream>
 #include <fstream>
 #include <cstdlib>
 #include <ctime>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 #define limit 100000

 void quicksort(int a[], int low ,int high)
 {
     if(low<high){                //递归的终止条件
         int i = low, j = high;   //使用i,j在对应区间内对数组进行排序；
         int x = a[low];          //将数组的第一个元素作为哨兵,通过这种方式取出哨兵元素

         while(i < j){
           while(i < j && a[j] >= x)
               j--;               //从右向左寻找第一个比哨兵元素小的元素
           if(i < j){
               a[i] = a[j];
               i++;               //把找到的第一个小于哨兵元素的元素值赋值给第一个元素，并把下界（i）向后移一位
           }

           while(i < j && a[i] <= x)
               i++;                //从左向右寻找第一个比哨兵元素大的元素
           if(i < j){
               a[j] = a[i];
               j--;
           }                       //把找到的第一个大于哨兵元素的元素值赋值给下标为j的元素，并把上界（j）向前移一位
         }
         a[i] = x;                 //把哨兵赋值到下标为i的位置，i前的元素均比哨兵元素小，i后的元素均比哨兵元素大

         quicksort(a, low ,i-);   //递归进行哨兵前后两部分元素排序
         quicksort(a, i+ ,high);
     }
 }
 int main(void)
 {
     ifstream fin;
     ofstream fout;
     int x;
     int i;
     int a[limit];

     fin.open("random_number.txt");
     if(!fin){
         cerr<<"Can not open file 'random_number.txt' "<<endl;
         return -;
     }
     time_t first, last;

     for(i=; i<limit; i++){
         fin>>a[i];
     }
     fin.close();

     first = clock();

     quicksort(a,,limit-);

     last = clock();

     fout.open("sort_number.txt");

     if(!fout){
         cerr<<"Can not open file 'sort_number.txt' "<<endl;
         return -;
     }
     for(i=; i<limit; i++){
         fout<<a[i]<<endl;
     }

     fout.close();

     cout<<"Sort completed (already output to file 'sort_number.txt')!"<<endl;
     cout<<"Time cost: "<<last-first<<endl;

     return ;
 }

程序设计思路：

（1）分解：以a[p]为基准元素将a[p：r]划分成3段a[p：q-1]，a[q]和a[q+1：r]，使得a[p：q-1]中任何元素小于等于a[q]，a[q+1：r]中任何元素大于等于a[q]。下标q在划分过程中确定。

（2）递归求解：通过递归调用快速排序算法，分别对a[p：q-1]和a[q+1：r]进行排序。

（3）合并：由于对a[p：q-1]和a[q+1：r]的排序是就地进行的，所以在a[p：q-1]和a[q+1：r]都已排好序后不需要执行任何计算，a[p：r]就已排好序。

结果数据格式为time_t格式相减得到的长整型以及输出到文件的整形数据。

时间复杂性分析：

对于输入序列a[p:r],算法的计算时间显然为O（r-p-1）.

快速排序的运行时间与划分是否对称有关，其最坏情况发生在划分过程中产生的两个区域分别包含n-1个元素和1个元素的时候。由于算法的计算时间为O（n），所以如果算法的每一步都出现这种不对称划分，则其计算时间复杂性T（n）满足

T（n）= O（1），n≤1

T（n）= T（n-1）+O（n），n＞1

解此递归方程可得T（n）=O（n²）。

在最好情况下，每次划分所取的基准都恰好为中值，即每次划分都产生两个大小为n/2的区域，此时，算法的计算时间T（n）满足

T（n）= O（1），n≤1

T（n）= 2T（n/2）+O（n），n＞1

其解为T（n）=O（nlogn）。

可以证明，快速排序算法在平均情况下的时间复杂性也是O（nlogn）。