leetocode 207 课程表

解题思路：

本题可约化为：课程安排图是否是 有向无环图(DAG)。即课程间规定了前置条件，但不能构成任何环路，否则课程前置条件将不成立。

思路是通过 拓扑排序 判断此课程安排图是否是 有向无环图(DAG)。

拓扑排序是对 DAG 的顶点进行排序，使得对每一条有向边 (u, v)，均有 u（在排序记录中）比 v 先出现。亦可理解为对某点 v而言，只有当 v 的所有源点均出现了，v才能出现。

通过课程前置条件列表 prerequisites 可以得到课程安排图的 邻接矩阵 adjacency，以下两种方法都会用到邻接矩阵。

方法1：入度表（广度优先遍历）

算法流程：

统计课程安排图中每个节点的入度，生成 入度表 indegrees。

借助一个队列 queue，将所有入度为 00 的节点入队。

当 queue 非空时，依次将队首节点出队，在课程安排图中删除此节点 pre：

并不是真正从邻接表中删除此节点 pre，而是将此节点对应所有邻接节点 cur 的入度 -1，即 indegrees[cur] -= 1。

当入度 -1后邻接节点 cur 的入度为 00，说明 cur 所有的前驱节点已经被 “删除”，此时将 cur 入队。

在每次 pre 出队时，执行 numCourses--；

若整个课程安排图是有向无环图（即可以安排），则所有节点一定都入队并出队过，即完成拓扑排序。换个角度说，若课程安排图中存在环，一定有节点的入度始终不为 0。

因此，拓扑排序出队次数等于课程个数，返回 numCourses == 0 判断课程是否可以成功安排。

复杂度分析：

时间复杂度 O(N + M)，遍历一个图需要访问所有节点和所有临边，N 和 M分别为节点数量和临边数量；

空间复杂度 O(N)，为建立邻接矩阵所需额外空间

class Solution {
 public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
    int[] indegrees = new int[numCourses];
    for(int[] cp : prerequisites) indegrees[cp[0]]++;
    LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();
    for(int i = 0; i < numCourses; i++){
        if(indegrees[i] == 0) queue.addLast(i);
    }
    while(!queue.isEmpty()) {
        Integer pre = queue.removeFirst();
        numCourses--;
        for(int[] req : prerequisites) {
            if(req[1] != pre) continue;
            if(--indegrees[req[0]] == 0) queue.add(req[0]);
        }
    }
    return numCourses == 0;
}

}

方法2：深度优先遍历

算法流程（思路是通过 DFS 判断图中是否有环）：

借助一个标志列表 flags，用于判断每个节点 i （课程）的状态：

未被 DFS 访问：i == 0；

已被其他节点启动的DFS访问：i == -1；

已被当前节点启动的DFS访问：i == 1。

对 numCourses 个节点依次执行 DFS，判断每个节点起步 DFS 是否存在环，若存在环直接返回 False。DFS 流程；

终止条件：

当 flag[i] == -1，说明当前访问节点已被其他节点启动的 DFS 访问，无需再重复搜索，直接返回 True。

当 flag[i] == 1，说明在本轮 DFS 搜索中节点 i 被第 2次访问，即 课程安排图有环，直接返回 False。

将当前访问节点 i 对应 flag[i] 置 1，即标记其被本轮 DFS 访问过；

递归访问当前节点 i 的所有邻接节点 j，当发现环直接返回 False；

当前节点所有邻接节点已被遍历，并没有发现环，则将当前节点 flag 置为 -1 并返回 True。

若整个图 DFS 结束并未发现环，返回 True。

复杂度分析：

时间复杂度 O(N + M)：遍历一个图需要访问所有节点和所有临边，N 和 M分别为节点数量和临边数量；

空间复杂度 O(N)，为建立邻接矩阵所需额外空间。

class Solution {
public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
    int[][] adjacency = new int[numCourses][numCourses];
    int[] flags = new int[numCourses];
    for(int[] cp : prerequisites)
        adjacency[cp[1]][cp[0]] = 1;
    for(int i = 0; i < numCourses; i++){
        if(!dfs(adjacency, flags, i)) return false;
    }
    return true;
}
private boolean dfs(int[][] adjacency, int[] flags, int i) {
    if(flags[i] == 1) return false;
    if(flags[i] == -1) return true;
    flags[i] = 1;
    for(int j = 0; j < adjacency.length; j++) {
        if(adjacency[i][j] == 1 && !dfs(adjacency, flags, j)) return false;
    }
    flags[i] = -1;
    return true;
}

}