NOI题库--盒子和小球系列 By cellur925

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盒子和小球之二：N个有差别的盒子（1<=N<=20）。你有A个红球和B个蓝球。0 <= A <= 15, 0 <= B <= 15。球除了颜色没有任何区别。你可以将球放进盒子。一个盒子可以同时放进两种球，也可以只放一种，也可以空着。球不必全部放入盒子中。编程计算有多少种放置球的方法。

考虑动态规划。一个盒子可以同时放进两种球，但是每个盒子我们可以对他进行很多操作，所以也就可以近似看成每个盒子可以放无数球，但是这并不重要。设f[i][j][k]表示我们当前放到第i个盒子，已经放了j个红球，k个篮球的状态方案数。（因为我们要求在状态设计的时候要求顾及到题目中的重要量，而这个状态恰好达到了这点）另外，由于本题数据范围较小，所以我们思考的不用太复杂。

则我们可以理所当然地想到转移：f[i][j][k]=sigmaf[i-1][j-x][k-x],其中x是我们枚举的在当前盒子中放几个。

时间复杂度为O（n*A^2*B^2)，可以轻松通过。

目标答案显然我们可以累加f[n][i][j]，枚举ij。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>

 using namespace std;
 typedef long long ll;
 //complexity n*A^2*B^2
 int n,A,B;
 ll ans,f[][][];

 int main()
 {
     scanf("%d%d%d",&n,&A,&B);
     f[][][]=;//初值，很重要
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=A;j++)//注意放几个从0开始枚举
             for(int k=;k<=B;k++)
                 for(int a=;a<=j;a++)
                     for(int b=;b<=k;b++)
                         f[i][j][k]+=f[i-][j-a][k-b];
     for(int i=;i<=A;i++)
         for(int j=;j<=B;j++)
             ans+=f[n][i][j];//球不必全部放入盒子中
     printf("%lld",ans);
     return ;
 }

盒子与小球之三：有N个相同的球，M个不同的盒子，每个盒子最多放K个球 ，请计算将这N个球全部放入盒子中的方案数模1000007后的结果 ，N<=5000，M<=5000。

我们可以继续考虑动态规划，相似的状态与转移。设f[i][j]为当前放到第i个盒子，已经放了j个球的方案数。显然有转移：

f[i][j]=sigmaf[i-1][j-k]，其中k枚举在当前盒子里放了几个。但由于本题数据比上一题大很多，这样的n^3转移会超时。状态设计的没有什么可以优化的了，考虑在转移优化。我们仔细观察转移方程，发现我们要加的其实是连续的一段，这就启示我们可以用前缀和优化，在转移前提前算出在i-1状态下的j前缀和。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define maxn 5090

 using namespace std;
 typedef long long ll;

 int n,m,k;
 ll moder=,f[maxn][maxn],sum[maxn];

 int main()
 {
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
     for(int i=;i<=m;i++) f[i][]=;
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         for(int j=;j<=n;j++)
             (sum[j]=sum[j-]+f[i-][j])%=moder;
         for(int j=;j<=n;j++)
         {
             //if(i==1&&j==1) printf("~~~~%d %d %d\n",sum[j],sum[max(j-k-1,0)],max(j-k-1,0));
             if(j-k-<) (f[i][j]=sum[j]+moder)%=moder;
             else (f[i][j]=sum[j]-sum[j-k-]+moder)%=moder;
             //printf("%d %d:=%d\n",i,j,f[i][j]);
         }
     }
     printf("%lld",f[m][n]);
     return ;
 }

盒子与小球之四：给定N个各不相同的小球，和M个不同的BOX，有多少种不同的放球方法，使得每个BOX里的小球个数不小于Ｋ。N,M,K均小于15。

我们还可以继续考虑动态规划。设f[i][j]表示当前放到第i个盒子，已经放了j个球的方案数。小球个数不小于k，只需要在转移时从k开始枚举。由于本题小球各不相同，所以我们需要组合数。本题数据在15，非常小可以递推预处理出组合数。于是有转移如下：

f[i][j]=sigmaf[i-1][j-k]*C(n-(j-k),k).

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>

 using namespace std;
 typedef long long ll;

 int n,m,jue;
 ll f[][],C[][];

 ll Combines()
 {
     for(int i=;i<=;i++) C[i][]=,C[i][i]=;
     for(int i=;i<=;i++)
         for(int j=;j<=i;j++)
             C[i][j]=C[i-][j]+C[i-][j-];
 }

 int main()
 {
     Combines();
     while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&jue)!=EOF&&n!=)
     {
         memset(f,,sizeof f);
         for(int i=jue;i<=n;i++) f[][i]=C[n][i];
         for(int i=;i<=m;i++)
             for(int j=jue;j<=n;j++)
                 for(int k=jue;k<=j;k++)
                     f[i][j]+=C[n-(j-k)][k]*f[i-][j-k];
         printf("%lld\n",f[m][n]);
     }
     return ;
 }