[ HDOJ 3826 ] Squarefree number

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\(Description\)

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\(T\)组数据，每次给出一个正整数 \(N\) ，判断其是否能被任意一个完全平方数整除。

• \(T\le 20,N\le 10^{18}\)

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\(Solution\)

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比较巧妙。

考虑一个数能被完全平方数整除，当且仅当对其分解质因数以后，至少有一个质数的指数\(\ge 2\)。

借用试除法分解质因数的思路，大于\(\sqrt N\)的质因子至多只有一个。那么，大于 \(\sqrt[3] N\) 的质因数的平方整除 \(N\) 的个数至多也只有一个，而且指数至多为 \(2\) ，因为指数再大或者再乘上一个等数量级的完全平方数都会超过 \(10^{18}\) 的数据范围。

然后就筛出 \(\sqrt[3] {10^{18}}=10^6\) 范围内的质数，然后将 \(N\) 中\([0,10^6]\) 范围内的质因子去掉。在这一过程中一旦出现指数大于 \(2\) 的情况就直接 \(GG\) 。然后剩下的如果是大于 \(1\) 的话就 \(check\) 一下是不是完全平方数就好了。

\(\\\)

\(Code\)

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 1000010
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;
typedef long long ll;

inline ll rd(){
  ll x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

bool vis[N];

ll prm[N];

inline void init(){
  for(R ll i=2;i<N;++i){
    if(!vis[i]) prm[++prm[0]]=i;
    for(R ll j=1,k;j<=prm[0]&&(k=i*prm[j])<N;++j){
      vis[k]=1; if(i%prm[j]==0) break;
    }
  }
}

inline bool check(ll x){
  for(R ll i=1;i<=prm[0];++i)
    if(x%prm[i]==0){
      x/=prm[i];
      if(x%prm[i]==0) return 0;
      if(x==1) return 1;
    }
  ll tmp=(ll)sqrt((double)x);
  return (tmp*tmp!=x);
}

int main(){
  init();
  ll t=rd();
  for(R ll i=1;i<=t;++i){
    printf("Case %lld: ",i);
    puts(check(rd())?"Yes":"No");
  }
  return 0;
}