【HIHOCODER 1526】 序列的值（二进制DP）

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描述

给定一个长度为 n 的序列 a[1..n]，定义函数 f(b[1..m]) 的值为在 [0,m-1] 内满足如下条件的 i 的数目：

b 中前 i 个数异或起来的值小于 b 中前 i +1个数异或起来的值。

对于 a[1..n] 的每个子序列 b[1..m]，求f(b[1..m])之和。

输入

第一行一个正整数 n。

接下来一共有 n 行。第 i+1 行包含一个非负整数 a[i]。

1 ≤ n ≤ 105

0 ≤ a[i] < 231

输出

输出答案对 998244353 取模后的值。

样例输入

2

1

2

样例输出

4

题解

dp[j][k]代表前i个数里第j位是k的子序列的个数,状态转移方程为：

$(1)dp[j][k]=dp[j][k]+dp[j][!k] $

--->当a[i]的第j位为1

\((2)dp[j][k]=dp[j][k]*2\)

--->当a[i]的第j位为0

那么，最后的答案为

\[\sum\limits_{j=0}^{j<=31}{dp[j][0]\times2^{n-i}}
\]

参考代码

#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define inf 30005
using namespace std;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
void Out(ll a){
    if(a<0) putchar('-'),a=-a;
    if(a>=10) Out(a/10);
    putchar(a%10+'0');
}
const int N=100000+10,SIGMA=31,MOD=998244353;
int a[N],b[N],dp[SIGMA+10][2];
int main(){
    int n=read(),ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    b[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=(ll)b[i-1]*2%MOD;
    for(int i=0;i<=SIGMA;i++) dp[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=SIGMA;i>=0;j--) if(a[i]&(1<<j)){
                ans=(ans+(ll)dp[j][0]*b[n-i])%MOD;
                break;
        }
        for(int j=0;j<=SIGMA;j++){
            int l=dp[j][0],r=dp[j][1];
            if (a[i]&(1<<j)){
                dp[j][0]=(l+r)%MOD;
                dp[j][1]=(l+r)%MOD;
            }
            else{
                dp[j][0]=l*2%MOD;
                dp[j][1]=r*2%MOD;
            }
        }
    }
    Out(ans);
    puts("");
    return 0;
}