[LOJ6191][CodeM]配对游戏(概率期望DP)
n次向一个栈中加入0或1中随机1个,如果一次加入0时栈顶元素为1,则将这两个元素弹栈。问最终栈中元素个数的期望是多少。
首先容易想到用概率算期望,p[i][j][k]表示已加入i个数,1有j个,总长为k的概率。(显然栈中一定是先一些0再是1)。
考虑优化,容易想到f[i][j]表示已加入i个数,1有j个时,栈中的期望元素个数。
讨论下一个放入的数是0还是1,直接转移即可。
每次转移是状态是f[i]=(f[k]+1)*p[k][i],其中k是能到达i的所有状态,p[k][i]是i由k转移到的概率(注意不是k转移到i的概率)。
同时维护P和f即可,注意j=0时要特判。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
using namespace std; const int N=;
const double eps=1e-;
int n;
double ans,p[N][N],f[N][N];
double Abs(double x){ return (x<) ? -x : x; } int main(){
scanf("%d",&n); p[][]=;
rep(i,,n-){
p[i+][]+=p[i][]/; p[i+][]+=p[i][]/;
rep(j,,n-) p[i+][j+]+=p[i][j]/,p[i+][j-]+=p[i][j]/;
if (p[i+][]>eps) f[i+][]+=(f[i][]+)*p[i][]/(*p[i+][]);
if (p[i+][]>eps) f[i+][]+=(f[i][]+)*p[i][]/(*p[i+][]);
rep(j,,n-)
f[i+][j+]+=(f[i][j]+)*((Abs(p[i+][j+])<eps)?:p[i][j]/(*p[i+][j+])),
f[i+][j-]+=(f[i][j]-)*((Abs(p[i+][j-])<eps)?:p[i][j]/(*p[i+][j-]));
}
rep(i,,n) ans+=f[n][i]*p[n][i]; printf("%.3lf\n",ans);
return ;
}
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