[NOIp2009] luogu P1072 Hankson 的趣味题

把 c 改成 d 下了两个点。

题目描述

已知正整数 a0,a1,b0,b1a_0,a_1,b_0,b_1a0​,a1​,b0​,b1​，设某未知正整数 xxx 满足：

1. xxx 和 a0a_0a0​ 的最大公约数是 a1a_1a1​；
2. xxx 和 b0b_0b0​ 的最小公倍数是 b1b_1b1​。

求满足条件的 xxx 的个数。

Solution 1

考虑一个式子。∀a,b∈N∗\forall a,b\in\N^*∀a,b∈N∗ 有a×b=gcd⁡(a,b)×lcm(a,b)a\times b=\gcd(a,b)\times\text{lcm}(a,b)a×b=gcd(a,b)×lcm(a,b)

枚举 gcd⁡(x,b0)\gcd(x,b_0)gcd(x,b0​)，算出 xxx，判断 xxx 是否满足 1. 条件。统计答案，输出。时间复杂度 O(Tb1⋅lg⁡b1)O(T\sqrt{b_1}·\lg b_1)O(Tb1​​⋅lgb1​)。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

#define int long long

int T;
int a,b,c,d;

int check(int Gcd){
	int x=d/c*Gcd;
	if(std::__gcd(c,x)!=Gcd) return 0;
	if(std::__gcd(x,a)!=b) return 0;
	return 1;
}
int work(){
	int sum=0;
	for(int i=1;i*i<=d;++i){
		if(d%i) continue;
		sum+=check(i);
		if(i*i!=d) sum+=check(d/i);
	}
	return sum;
}
signed main(){
	scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);
		printf("%lld\n",work());
	}
}

Solution 2 By @zzlzk

容易想到，∀a,b,k∈N∗\forall a,b,k\in\N^*∀a,b,k∈N∗ 有gcd⁡(a,b)=k⇔gcd⁡(ak,bk)=1\gcd(a,b)=k\quad\Leftrightarrow\quad\gcd(\frac ak,\frac bk)=1gcd(a,b)=k⇔gcd(ka​,kb​)=1

化一下式子，得到

{gcd⁡(xa1,a0a1)=1,gcd⁡(b1b0,b1x)=1.\begin{cases}\gcd(\frac x{a_1},\frac{a_0}{a_1})=1,\\ \gcd(\frac{b_1}{b_0},\frac{b_1}x)=1.\end{cases}{gcd(a1​x​,a1​a0​​)=1,gcd(b0​b1​​,xb1​​)=1.​

枚举 b1b_1b1​ 的因子，判断是不是 a1a_1a1​ 的倍数即可。时间复杂度 O(Tb1⋅lg⁡b1)O(T\sqrt{b_1}·\lg b_1)O(Tb1​​⋅lgb1​)。

#include<cstdio>
using namespace std;
int gcd(int a,int b) {
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main() {
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        int a0,a1,b0,b1;
        scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
        int p=a0/a1,q=b1/b0,ans=0;
        for(int x=1;x*x<=b1;x++)
            if(b1%x==0){
                if(x%a1==0&&gcd(x/a1,p)==1&&gcd(q,b1/x)==1) ans++;
                int y=b1/x;//得到另一个因子
                if(x==y) continue;
                if(y%a1==0&&gcd(y/a1,p)==1&&gcd(q,b1/y)==1) ans++;
            }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}