本文将从一道经典的面试题说起:实现平方根函数,不得调用其它库函数。

函数原型声明例如以下:

double Sqrt(double A);

二分法

二分法的概念

,等价于求方程的非负根(解)。求解方程近似根的方法中,最直观、最简单的方法是二分法。“二分法”算法过程例如以下:

  1. 先找出一个区间 [a, b],使得f(a)与f(b)异号。
  2. 求该区间的中点 m = (a+b)/2,并求出 f(m) 的值。
  3. 若 f(m) * f(a) < 0 则取 [a, m] 为新的区间, 否则取 [m, b].
  4. 反复第2和第3步至理想准确度为止。

二分法的过程可用下图表示:

初始区间的选定

可见,若要用“二分法”求方程,首先要找到一个区间 [a, b],使得f(a),f(b)异号。a能够取0,这非常easy想到;但b怎样选取,即怎样选取b=f(A),使得

取f(A)=A?不行,由于它不能始终保证

从图像可知,当A>1时,才有。若用A作为第一步的上界,则在A小于1时,将无法得到正确结果。

同一时候可知,sqrt(A)在原点处的切线平行于y轴,所以找不到常数项为零的多项式f(A),使得

据此,可推出一个,使得成立。

,则t>=0,, 等价于,即

显然,当时,上式成立,所以k能够取[1/4, +∞)的随意值,最好还是取k=1/4,即有

,使得成立。

二分法的误差

为了说明二分法的误差,须要借助一个定理。

零点定理:若f(x)在(a,b)连续,且f(a)f(b)<0,则f(0)在(a, b)内有零点。

二分法每次迭代都可以保证实际解在区间[a, b]范围内,所以每次迭代的误差都小于当前区间的宽度,这也是迭代的结束条件(通常误差给定)。

二分法实现sqrt

依据以上分析,能够非常快写出sqrt的“二分法”版本号:

double Sqrt(double A)
{
double a = 0.0, b = A + 0.25, m; // b = A 是错误的上界 // while(b - a > 2*DBL_EPSILON) { // sometimes dead cycle when m==a or m==b.
for(;;) {
m = (b + a)/2;
if( m-a < DBL_EPSILON || b-m < DBL_EPSILON ) break;
if( (m*m - A) * (a*a - A) < 0 ) b = m;
else a = m;
}
return m;
}

须要注意的是:

  • 初始上界是A+0.25,而不是A;
  • double型的精度DBL_EPSILON,不能任意指定;

牛顿迭代法

以下介绍还有一种应用广泛的方法——牛顿迭代法。

牛顿法的概念

牛顿迭代法是迭代法的一种,它的迭代格式为:

牛顿法具有明显的几何意义,x[k+1]正是曲线在x[k]处的切线与x轴的交点的横坐标。因此,牛顿法也称切线法。

来自Wikipedia的一个动态图非常好的解释了这样的几何意义:

牛顿法初值的选定

在開始牛顿迭代法之前,须要选定一个d迭代初值x0。依据前文分析,求sqrt(A),也能够取x0 = A+0.25;

牛顿法sqrt

依据牛顿法,求即求的非负根,

所以,此时的牛顿递推式为:

 

离实现牛顿法还差关键一步:迭代的结束条件。

在不知道误差公式,且要求误差尽可能小情况下能够使用还有一种方法——限定f(x)=0的误差(此法仅限于不给误差范围,且要求误差尽可能小时使用)。

据此,实现的sqrt例如以下:

double Sqrt(double A)
{
double x0 = A + 0.25, x1, xx = x0;
for(;;) {
x1 = (x0*x0 + A) / (2*x0);
if(fabs(x1 - x0) <= DBL_EPSILON) break;
if(xx == x1) break; // to break two value cycle.
xx = x0;
x0 = x1;
} return x1;
}

这段程序里的while条件是fabs(x1*x1-A) > 5*DBL_EPSILON是由于,x的误差在2*DBL_EPSILON范围内,所以x*x的误差就在4*DBL_EPSILON范围,考虑到浮点乘法的精度丢失,所以为5*DBL_EPSILON。

迭代法的理论基础

迭代格式收敛的前提

迭代法在进行“迭代”之前,需将原方程改写成的形式;再用迭代格式,逐次逼近的实际解x*。

整个过程的全部x构成了数列:(迭代序列),数列的递推式即

所以,迭代法可以求得近似解的前提是

当中x*为方程的实际解。

迭代格式收敛的条件

迭代法收敛的前提是 ,这非常好理解;但要用此式验证迭代式是否收敛,必须先通过递推式求出通项

是否有更简单的方法判定迭代格式收敛?当然有,以下介绍一个定理可以简便的判定迭代格式是否收敛,同一时候也能判定误差。


定理  迭代格式收敛条件(Vipschitz条件)

若迭代函数满足:

①一阶导数连续;

②当x∈[a, b]时,有

③存在常数,使得

  1. 方程有唯一根x*;
  2. 对随意x0∈[a, b],迭代格式收敛,且
  3. ,(事后误差预计);
  4. ,(事前误差预计);

定理应用

以下以求的近似解为例,说明定理怎样用:

1)推断收敛

相应的迭代函数为:

它的导函数为:

在[0, A+0.25]区间内它显然连续,且存在L=1/2使得;即满足收敛的三个条件;

2)预计误差(迭代次数)

有了L = 1/2;就能够依据定理估算:

①给定误差情况下,须要迭代几次?

②给定迭代次数,终于近似解的误差?

比方,如果题目要求的精度是:小数点后2位(精确到0.01),那么误差要小于0.01 / 2 = 0.005;仅仅需依据初值x0和第一次迭代结果x1和定理的结论4,便可算出迭代次数k,这里不再罗列(公式编辑起来比較麻烦)。

相同,依据x0,x1和结论4,也能够非常方便的算出第k次迭代的误差;

推广——一般方程求近似解

本文指出的二分法、牛顿迭代法是求解方程近似解的常见方法,不只限于求sqrt,但在本文所实现的sqrt程序的基础上,能够非常快实现求解其它方程的程序。

二分法

比方,例如以下程序段就是二分法求解随意方程f(x)=0的程序:

double bisection(double (*f)(double), double a, double b, double eps)
{
double m;
assert( f != NULL && f(a) * f(b) < 0.0 && (b-a) > DBL_EPSILON); // (b-a) > DBL_EPSILON 即 b > a while( b - a > eps ) {
m = (a + b)/2;
if( f(m) * f(a) < 0.0 ) b = m;
else a = m;
}
return m;
}

这个程序较为“好用”,仅仅需给出函数f,区间[a, b],误差eps就可以。

迭代法

相同,有了对迭代法的理论基础,我们知道了迭代法的误差怎样预计。以下是迭代法求一般方程的近似解的程序:

double iteration(double (*g)(double), double L, double x0, double eps)
{
double x1, t = L/(1 - L);;
for(;;) {
x1 = g(x0);
if(fabs( t*(x1-x0) ) < eps)
break;
x0 = x1;
}
return x1;
}

这个函数没有上面的二分法那么好用,由于须要依据f(x)自行推出递推函数g,并依据递推函数的倒数找到一个常数L;再给出初值x0,误差eps。

割线法

其实,真正通用的牛顿法非常难实现,由于从f(x)推出它的导函数f1(x)的过程并不easy。割线法能够避免这一难题,它使用差商:

来取代牛顿公式中的导数f'(xk),于是得到了“割线法”迭代公式:

割线法和牛顿法类似,有着明白的几何意义。以下的gif动态地展示了割线法的几何意义(若没有看到动画效果可尝试刷新本页):

(图片来自Dr. Mathews的教案,)

割线法求一般方程的近似解的程序例如以下:

double secant(double (*f)(double), double x0, double x1, double eps)
{
double x2;
for(;;) {
x2 = x1 - f(x1)/(f(x1) - f(x0))*(x1 - x0);
if( fabs(x2-x1) < eps )
break;
x0 = x1;
x1 = x2;
}
return x2;
}

这个函数也非常好使用,仅仅需给出f,[a, b],eps就可以。

割线法实现的sqrt例如以下:

double Sqrt(double A)
{
double x0 = 0, x1 = A+0.25, x2;
double fx0 = x0*x0 - A, fx1 = x1*x1 - A; for(;;) {
x2 = x1 - fx1*(x1-x0) / (fx1-fx0);
if(fabs(x2 - x1) < 2*DBL_EPSILON)
break;
x0 = x1; fx0 = fx1;
x1 = x2; fx1 = x2*x2 - A;
}
return x2;
}

收敛速度对照

对于sqrt的实现,本文介绍了三种方法,分别为:二分法,牛顿法,割线法;

二分法的收敛速度

对于二分法,相邻两次的误差ek+1和ek间的关系为:

由此,我们能够引申出迭代法收敛速度的判定标准:


定义  迭代法收敛的阶

设序列{xk}收敛于x*,并记ek = xk - x*,假设存在非负常数c和正常数p,使得

则称序列{xk}是p阶收敛的。当p=1,且0<|c|<1时,称为线性收敛;当p>1时,称超线性收敛,特别是p=2时,称平方收敛


由收敛阶的定义可知,二分法是线性收敛的。

牛顿法的收敛速度

要确定牛顿法收敛的阶,须要经过一番推导,限于篇幅,这里直接给出结论:

当x*是f(x)=0的单根(回想一下二次方程)时,牛顿法至少是二阶收敛的;

当x*是f(x)=0的重根时,牛顿法至少是一阶收敛的。

割线法的收敛速度

分析割线法收敛的阶相同不易,它比牛顿法略慢一些;有知道的同学能够告诉我;

实验对照

以下通过实验对照几种方法的收敛速度。实验以不同版本号的sqrt求出终于值所用的迭代次数为收敛速度的标准。
实验程序例如以下:
#include <math.h> // for fabs sqrt
#include <float.h> // for DBL_EPSILON DBL_DIG etc.
#include <time.h> // for clock
#include <stdio.h>
#include <assert.h> int iterateCount = 0;
double BisectionSqrt(double A)
{
double a = 0.0, b = A + 0.25, m; for(;;){
m = (b + a)/2;
++iterateCount; // count iterate.
// printf(" %.15f\n", m);
if( m-a < DBL_EPSILON || b-m < DBL_EPSILON ) break;
if( (m*m - A) * (a*a - A) < 0.0 ) b = m;
else a = m;
}
return m;
} double NewtonSqrt(double A)
{
double x0 = A + 0.25, x1, xx;
for(;;) {
x1 = (x0*x0 + A) / (2*x0);
++iterateCount; // count iterate.
// printf(" %.15f\n", m);
if(fabs(x1 - x0) <= DBL_EPSILON) break;
if(xx == x1) return x0; // break two value cycle.
xx = x0;
x0 = x1;
} return x1;
} double SecantSqrt(double A)
{
double x0 = 0, x1 = A+0.25, x2;
double fx0 = x0*x0 - A, fx1 = x1*x1 - A; for(;;) {
x2 = x1 - fx1*(x1-x0) / (fx1-fx0);
++iterateCount; // count iterate.
// printf(" %.15f\n", x2);
if(fabs(x2 - x1) < 2*DBL_EPSILON)
break;
x0 = x1; fx0 = fx1;
x1 = x2; fx1 = x2*x2 - A;
}
return x2;
} int main()
{
#ifdef F_INFO
puts("local machine floating point informations:");
printf("FLT_DIG: %d, %g\n", FLT_DIG, FLT_EPSILON);
printf("LDBL_DIG: %d, %g\n", DBL_DIG, DBL_EPSILON);
printf("LDBL_DIG: %d, %g\n", LDBL_DIG, LDBL_EPSILON);
#endif double x, res, stdres; while( scanf("%lf", &x) == 1 )
{
stdres = sqrt(x);
printf("%15g ", x); iterateCount = 0;
res = BisectionSqrt(x);
printf("%14g\t%3d\t", res-stdres, iterateCount); iterateCount = 0;
res = NewtonSqrt(x);
printf("%14g\t%3d\t", res-stdres, iterateCount); iterateCount = 0;
res = SecantSqrt(x);
printf("%14g\t%3d\t", res-stdres, iterateCount); printf("\n");
} return 0;
}

程序输出\t是为了方便重定位到文本文件后,粘贴到excel等表格软件中;格式串是为了方便控制台查看;



測试数据由以下的python脚本生成:
for x in range(1, 10000):
print x*0.01 for x in range(10000, 90000):
print x for x in range(1000000, 9000000, 37):
print x for x in range(100000000, 10000000000, 2311):
print x

能够通过管道进行測试:

gcc sqrt_cmp.c -o sqrt_cmp # 编译
python inputgen_sqrt_cmp.py | sqrt_cmp # 測试

经过例如以下数据试验:

delta = 0.05
count = 1/delta
for x in range(1, 2*int(count)):
print x*delta

得到的迭代次数随x的变化关系例如以下图所看到的:


图中,非常坐标表示x值,纵坐标表示迭代次数。

试验结果表明:牛顿法的收敛速度最快(迭代次数少),割线法次之,而二分法收敛最慢。

总结

本文分别描写叙述了二分法、牛顿法、割线法,等几种求方程近似解算法的步骤及实现;另外,从理论方面解释了这些算法步骤背后数学原理;并将这些方法进行了一般化的推广。最后,本文针对不同方法实现的sqrt进行了实验对照。实验结果表明:牛顿法的收敛速度快于割线法,割线法快于二分法。

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