(AMM. Problems and Solutions. 2015. 03) Let $\sed{a_n}$ be a monotone decreasing sequence of real numbers that converges to $0$. Prove that $$\bex \vsm{n}a_n<\infty \eex$$ if and only if $a_n=O(1/\ln n)$ and $\dps{\vsm{n}(a_n-a_{n+1}) \ln n<\infty}$.

必要性好办, 但是充分条件怎么办呢?

[再寄小读者之数学篇](2015-06-24 Series)的更多相关文章

  1. [再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限-H\"older 不等式的应用)

    设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_p\in (a,b)$, 使 $$\bex f^p(x_p)=\cfrac ...

  2. [再寄小读者之数学篇](2014-04-08 from 1297503521@qq.com $\sin x-x\cos x=0$ 的根的估计)

    (2014-04-08 from 1297503521@qq.com) 设方程 $\sin x-x\cos x=0$ 在 $(0,+\infty)$ 中的第 $n$ 个解为 $x_n$. 证明: $$ ...

  3. [再寄小读者之数学篇](2014-12-04 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0.$)

    试证: $$\bex \left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0. \eex$$ 证明 (from Hanssch ...

  4. [再寄小读者之数学篇](2014-11-26 广义 Schur 分解定理)

    设 $A,B\in \bbR^{n\times n}$ 的特征值都是实数, 则存在正交阵 $P,Q$ 使得 $PAQ$, $PBQ$ 为上三角阵.

  5. [再寄小读者之数学篇](2014-11-24 Abel 定理)

    设幂级数 $\dps{g(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}$ 在 $|x|<1$ 内收敛, 且 $\dps{\sum_{n=0}^\infty a_n=s}$ 收敛. 则 ...

  6. [再寄小读者之数学篇](2014-11-19 $\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$)

    $$\bex \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y. \eex$$ Ref. [Proof Without Words: Sine Sum Identity, The ...

  7. [再寄小读者之数学篇](2014-11-19 $\sin x/x$ 在 $(0,\pi/2)$ 上递增)

    $$\bex \frac{\sin x}{x}\nearrow. \eex$$ Ref. [Proof Without Words: Monotonicity of $\sin x/x$ on $(0 ...

  8. [再寄小读者之数学篇](2014-11-19 $\tan x/x$ 在 $(0,\pi/2)$ 上递增)

    $$\bex \frac{\tan x}{x}\nearrow. \eex$$ Ref. [Proof Without Words: Monotonicity of $\tan x/x$ on $(0 ...

  9. [再寄小读者之数学篇](2014-11-02 Herglotz' trick)

    设 $f$ 是 $\bbR$ 上周期为 $1$ 的连续可微函数, 满足 $$\bee\label{141102_f} f(x)+f\sex{x+\frac{1}{2}}=f(2x),\quad\for ...

随机推荐

  1. Redis学习笔记（3）——Redis的命令大全

    Redis是一种nosql数据库,常被称作数据结构服务器,因为值(value)可以是 字符串(String), 哈希(Map), 列表(list), 集合(sets) 和 有序集合(sorted se ...

  2. Python开发【前端篇】CSS

    1.css基本语法及页面引用 css基本语法 css的定义方法是: 选择器 { 属性:值; 属性:值; 属性:值;} 选择器是将样式和页面元素关联起来的名称,属性是希望设置的样式属性每个属性有一个或多 ...

  3. IDEA+API && SPI

    JAVA中API和SPI的区别:https://blog.csdn.net/quanaianzj/article/details/82500019

  4. Linux内核入门到放弃-时间管理-《深入Linux内核架构》笔记

    低分辨率定时器的实现 定时器激活与进程统计 IA-32将timer_interrupt注册为中断处理程序,而AMD64使用的是timer_event_interrupt.这两个函数都通过调用所谓的全局 ...

  5. 浮点数乘积的取整intval，以及高精度函数bcmath的使用

    线上发现个bug,浮点数乘积以后取整,得到的数不符预期.还记得上次踩过的坑是数据库类型转换的一个问题.这个也相当于类型转换了..尴尬 浮点数计算的精度一定要谨慎. 例子如下: <?php $a ...

  6. Facebook第三方网页登录（JavaScript SDK）

    文档网址:https://developers.facebook.com/docs/facebook-login/web#logindialog 一.应用配置  https://www.faceboo ...

  7. Day4 Numerical simulation of optical wave propagation之数字傅里叶变换

    标量衍射理论是波动光学模拟的物理基础.这一理论基础的结果是将电磁波在真空中的传播作为线性系统进行处理. 对于单色波,系统观察平面的电场矢量是源平面电场矢量和自由空间脉冲响应的卷积. 因此,线性系统理论 ...

  8. Kubernetes — 深入解析Pod对象：基本概念（二）

    作为 Kubernetes 项目里最核心的编排对象,Pod 携带的信息非常丰富.其中,资源定义(比如 CPU.内存等),以及调度相关的字段.在本篇,我们就先从一种特殊的 Volume 开始,来帮助你更 ...

  9. 关于token登录逻辑分析

    前言: token登录上一家公司也写过,迷迷糊糊的, 现在做一个APP,需求为每次调用接口都会传token,登录注册等特殊的除外, 逻辑整理一下还是比较简单的 主要的问题还是,如何在框架中找到较好的插 ...

  10. CentOS 7 常用命令

    1.防火墙 yum install firewalld #安装firewalld 防火墙 systemctl start firewalld.service #开启防火墙 systemctl stop ...