[物理学与PDEs]第5章习题10 多凸函数一个例子

证明函数 $$\bex \hat W({\bf F})=\sedd{\ba{ll} \cfrac{1}{\det{\bf F}},&if\ \det{\bf F}>0,\\ +\infty,&if\ \det{\bf F}\leq 0 \ea} \eex$$ 是多凸的.

证明: 由 $$\bex f(x)=\cfrac{1}{x}\ra f'(x)=\cfrac{-1}{x^2}\ra f''(x)=\cfrac{2}{x^3} \eex$$ 知 $$\bex \cfrac{\rd ^2\hat W({\bf F})}{\rd (\det{\bf F})^2} =\cfrac{2}{|\det{\bf F}|^2}>0,\quad \det{\bf F}>0.  \eex$$ 故有结论.