GCD XOR(UVa 12716)

题意：输入整数n（1<=n<=30000000），有多少对整数（a,b）满足1<=b<=a<=n，且gcd(a,b)=a xor b。

题解：设c=gcd(a,b)，因为a-b<=a xor b，且a-b>=c，假设存在c是的a-b>c，则c<a-b<=a xor b，与c= a xor b矛盾。所以c =a-b。所以枚举a和c，计算b=a-c，则gcd(a,b)=gcd(a,a-c)=c，因此只需要验证是否有c= a xor b即可。

a-b<=a xor b ，因为异或运算是不同的话为一。所以除非a=b否则a xor b必定大于a-b(a>=b)，因为在二进制位中，对于每一位，a-b只要是不同，那么必定是正或负，而对于啊xorb来说，只要是不同就是正，由于相同的在2种运算中都是0，因而无影响。由上述推理可得a xor b必定大于或者等于a-b(a>=b)。（xor 表示异或）。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int M = ;
int cnt[M+], sum[M+];

void init() {
  memset(cnt, , sizeof(cnt));
  for(int c = ; c <= M; c++)
    for(int a = c*; a <= M; a += c) {///因为a>=b，所以需要从2*c开始枚举
      int b = a - c;
      if(c == (a ^ b)) cnt[a]++;///统计每个a对应的b的数量
    }
  sum[] = ;
  for(int i = ; i <= M; i++) sum[i] = sum[i-] + cnt[i];
}

int main(){
    init();
    int T, n, kase = ;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
            scanf("%d", &n);
            printf("Case %d: %d\n", ++kase, sum[n]);
        }
    return ;
}