【Luogu4512】多项式除法（FFT）

题面

洛谷

题解

模板题。。。

我直接蒯我写的东西。。。

这个除法是带余除法，所以并不能直接求逆解决。

要求的就是给定两个多项式\(A(x),B(x)\)，其项数为\(n,m\)

求解一个\(n-m\)项的多项式\(C(x)\)，以及一个小于\(n-m\)项的多项式\(R(x)\)。

满足：\(A(x)=B(x)*C(x)+R(x)\)。

定义一个操作\(R\),其中\(R\)就是\(Reverse\)，\(A^R(x)=x^nA(\frac{1}{x})\)。这个操作说白点就是\(A(x)[x^i]\)对应\(A^R(x)[x^{n-i}]\)，也就是把所有的系数给翻转过来。

然后推式子：

\[\begin{aligned}
A(x)&=B(x)*C(x)+R(x)\\
A(\frac{1}{x})&=B(\frac{1}{x})*C(\frac{1}{x})+R(\frac{1}{x})\\
x^nA(\frac{1}{x})&=(x^m*B(\frac{1}{x}))*(x^{n-m}*C(\frac{1}{x}))+x^nR(\frac{1}{x})\\
A^R(x)&=B^R(x)*C^R(x)+R^R(x)*x^{n-m+1}
\end{aligned}\]

到了这里我们把等号换成同余，把整个式子在模\(x^{n-m+1}\)意义下进行。

\[\begin{aligned}
A^R(x)&\equiv B^R(x)*C^R(x)+R^R(x)*x^{n-m+1}\\
&\equiv B^R(x)*C^R(x)
\end{aligned}\]

所以在模意义下，我们可以利用多项式求逆求解\(C^R(x)=\frac{A^R(x)}{B^R(x)}mod\ x^{n-m+1}\)

那么就有\(R(x)=A(x)-B(x)*C(x)\)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 998244353
#define MAX 300000
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
int r[MAX],W[MAX];
int N,n,m,NN;
void NTT(int *P,int opt,int N)
{
	int l=0;for(int i=1;i<N;i<<=1)++l;
	for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	for(int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
	{
		int w=fpow(3,(MOD-1)/(i<<1));W[0]=1;
		for(int k=1;k<i;++k)W[k]=1ll*W[k-1]*w%MOD;
		for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
			for(int k=0;k<i;++k)
			{
				int X=P[j+k],Y=1ll*W[k]*P[i+j+k]%MOD;
				P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=(X-Y+MOD)%MOD;
			}
	}
	if(opt==-1)
	{
		reverse(&P[1],&P[N]);
		for(int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)P[i]=1ll*P[i]*inv%MOD;
	}
}
int A[MAX],B[MAX];
void Inv(int *a,int *b,int len)
{
	if(len==1){b[0]=fpow(a[0],MOD-2);return;}
	Inv(a,b,len>>1);
	for(int i=0;i<len;++i)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	NTT(A,1,len<<1);NTT(B,1,len<<1);
	for(int i=0;i<len<<1;++i)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD*B[i]%MOD;
	NTT(A,-1,len<<1);
	for(int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+b[i])%MOD;
	for(int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+MOD-A[i])%MOD;
	for(int i=0;i<len<<1;++i)A[i]=B[i]=0;
}
int F[MAX],G[MAX],InvG[MAX];
int Q[MAX],R[MAX];
int main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=0;i<=n;++i)F[i]=read();
	for(int i=0;i<=m;++i)G[i]=read();
	reverse(&F[0],&F[n+1]);reverse(&G[0],&G[m+1]);
	for(NN=1;NN<=n-m+1;NN<<=1);Inv(G,InvG,NN);
	for(N=1;N<=n+NN;N<<=1);
	NTT(InvG,1,N);NTT(F,1,N);
	for(int i=0;i<N;++i)Q[i]=1ll*F[i]*InvG[i]%MOD;
	NTT(InvG,-1,N);NTT(F,-1,N);NTT(Q,-1,N);
	for(int i=n-m+1;i<N;++i)Q[i]=0;
	reverse(&F[0],&F[n+1]);reverse(&G[0],&G[m+1]);reverse(&Q[0],&Q[n-m+1]);
	for(int i=0;i<=n-m;++i)printf("%d ",Q[i]);puts("");
	for(N=1;N<=n;N<<=1);
	NTT(G,1,N);NTT(Q,1,N);
	for(int i=0;i<N;++i)G[i]=1ll*G[i]*Q[i]%MOD;
	NTT(G,-1,N);
	for(int i=0;i<N;++i)R[i]=(F[i]+MOD-G[i])%MOD;
	for(int i=0;i<m;++i)printf("%d ",R[i]);puts("");
	return 0;

}