自适应Simpson法与积分初步

前言

不知道为什么，今天感觉想要写一下数学的东西，然后就看了一下我还有这个模板不会，顺手写了一下。

没有学过微积分的最好还是看一下求导为好。

求导

听说很多人都不会求导，我写一下吧qwq

令\(f(x)=ax^2+bx+c\)

那么显然这个东西求导的话就是：

\(f'(x)=\frac{\triangle{y}}{\triangle{x}}\)

那么\(\triangle{y}=f(x+\triangle{x})-f(x)\)

你把这个东西拆开：

\[
\triangle{y}=
\\
f(x+\triangle{x})-f(x)
\\
=a*(x+\triangle{x})^2-a*x^2+b*(x+\triangle{x})-b*x+c-c
\\
=a*(x^2+\triangle{x}^2+2*x*\triangle{x})-a*x^2+b*x-b*x+b*\triangle{x}
\\
=a*\triangle{x}^2+2*a*x*\triangle{x}+b*\triangle{x}
\]

然后考虑一下除一下就是：

\[
f'(x)=\frac{\triangle{y}}{\triangle{x}}
\\
=\frac{a*\triangle{x}^2+2*a*x*\triangle{x}+b*\triangle{x}}{\triangle{x}}
\\
=a\triangle{x}+2*a*x+b
\]

然后我们又发现\(lim_{\triangle{x}->0}\triangle{x}\)

所以化简就是：

\(f'(x)=2*a*x+b\)

由此我们还可以得到一些比较好的东西：

\((x^n)'=n*x^{n-1}\)

与：

\((g(x)*f(x))'=g(x)\centerdot f'(x)+g'(x)\centerdot f(x)\)

然后把两个搞在一起就是：
\[
(c*f(x))'=c*f'(x)
\]

大概入门就只要这么点东西吧。

积分

定义就是曲面围成的面积。

然后就是许多的式子qwq（这个直接背记就好了。）

当然如果有网的话也可以查。

还有一个比较需要记住的公式：

可导函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)的弧长

\(\int_a^b\sqrt{1+f'(x)}dx\)

我突然发现我自己越来越不会算区间，凉凉了。

开始

假定我们现在已经有了一个函数\(f(x)\)，现在要求这样子的积分：
\[
\int_a^bf(x)dx
\]

Simpson公式

\[
\int_a^bf(x)dx\approx\frac{\triangle{x}}{3}(y_0+4*y_1+y_2)+\frac{\triangle{x}}{3}(y_2+4*y_3+y_4)+...
\]

然后直接自适应Simpson法套进去就好了.

然后?
没有了qwq

代码实现

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<iostream>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define file(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
inline int gi(){
    int f=1,sum=0;char ch=getchar();
    while(ch>'9' || ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*sum;
}
const double eps=1e-12;
double a,b,c,d,l,r;
double F(double x){
    return (c*x+d)/(a*x+b);
}
double Simpson(double a,double b){
    double c=a+(b-a)/2;
    return (F(a)+4*F(c)+F(b))*(b-a)/6;
}
double simpson(double a,double b,double eps,double A){
    double c=a+(b-a)/2;
    double L=Simpson(a,c),R=Simpson(c,b);
    if(fabs(L+R-A)<=eps*15)return L+R+(L+R-A)/15;
    return simpson(a,c,eps/2,L)+simpson(c,b,eps/2,R);
}
double Ask(double a,double b,double eps){
    return simpson(a,b,eps,Simpson(a,b));
}
int main(){
    scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d,&l,&r);
    printf("%.6lf\n",Ask(l,r,eps));
    return 0;
}