容斥原理I

普利斯记号

以下以“人”代指受条件约束的元素。

\(K(x)\)表示刚好\(x\)人满足条件的方案数。

\(S(x)\)表示至少\(x\)人满足条件的方案数。

\(C(x)\)表示任选\(x\)人满足条件，其他人任意的方案数。

则显然有\(S(0)=C(0)=K(0)+S(1)=所有人任意的方案数\)。

注意\(S\)与\(C\)的不同处。比如大小为\(3\)的集合，条件为选择其子集，则\(S(1)=7\)，但\(C(1)=12\)。

容斥原理

\[K(0)=\sum_{i=0}^n(-1)^iC(i)\]

也就是小学生的容斥。一般的组合类的容斥题都可以用这个解。

\(C(x)\)的计算一般是先乘\(C_n^x\)，表示任选\(x\)人，然后乘上\(x\)人满足条件的方案数，再乘上\(n-x\)人任意选的方案数。

注意：这种容斥原理要求人是无差别的。若人与人不同，则用\(2^n\)的容斥。

解题

容斥原理可以将问题转换为其补问题。如\(C\)的计算里所讲，事实上我们要算的由“所有人不满足条件的方案数”变成了“\(x\)人满足条件的方案数”。同时，满足条件比不满足条件好算得多。于是问题就变得简单。

错排问题

求满足\(p(i)\ne i\)的长度为\(n\)的排列数。

考虑随便选，这样有人就会\(i=p(i)\)。于是我们把\(i=p(i)\)作为限制条件，要求的就是\(K(0)\)。

由容斥原理，考虑计算\(C(x)\)。显然\(C(x)=C_n^x\times 1\times(n-x)!\)。（对着上面看）

于是答案就是\(\sum_{i=0}^n(-1)^iC_n^i(n-i)!\)。

BZOJ2839 集合计数

求在有\(n\)个元素的集合中，选若干个不同子集使它们的交的大小为\(k\)的方案数。

这个条件等价于先任选\(k\)个放好，认为它们是交，于是就变成要求剩下的\(n-k\)个选子集交为空。考虑限制条件为交集，则答案为\(K(0)\)。

计算\(C(x)\)就是先任选\(x\)个元素认为是交，其它的集合随便选。于是\(C(x)=C_n^x\cdot 2^{2^{n-x}}\)。

BZOJ4710 JSOI2011 分特产

题面见OJ。

考虑乱分特产，不合题意的情况是有人没分到特产。于是设限制条件为没分到特产。答案为\(K(0)\)。

计算\(C(x)​\)就是在剩下的\(n-x​\)个人里面用隔板法。