[题目] luogu P2061 [USACO07OPEN]城市的地平线City Horizon

算法

线段树 + 离散化

思路

对\((x,y,h)\)的左右端点\(x,y\)进行离散化，离散化前的原值记为\(val[i]\)，对每个矩形按高度\(h\)从小到大排序。

设离散化后的端点有\(M\)个，则对如图所示\(M-1\)个规则矩形编号为\([1,M-1]\)，可以由\(h_{[i, i+1]}\times(val[i+1] - val[i])\)得出第\(i\)个矩形的面积。

开一颗区间为\([1,M-1]\)的线段树，按\(h\)从小到大依次对线段树区间覆盖，可以保证高的矩形覆盖了低的矩形的区间，具体操作为对离散化后的\((x,y,h)\)，进行线段树\([x,y-1]\)区间覆盖\(h\)值，最终\(i\)点存储\(h_{[i,i+1]}\)的最大值。

\(h_{[i, i+1]}\)可以通过线段树单点查询\(i\)点求出。

答案：\(\sum_{i=1}^{M-1}h_{[i, i+1]}\times(val[i+1] - val[i])\)

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long

using namespace std;
const int N = 80005;
int n, b[N], val[N];//b[]:离散化数组
struct Line { int x, y, h; }a[N];//存储每个矩形
bool cmp(Line a, Line b) { return a.h < b.h; }
int ans[N << 2];//线段树数组
#define ls (p << 1)
#define rs (p << 1 | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)
void update(int p, int l, int r, int ul, int ur, int k)
{
    if(ul <= l && r <= ur) { ans[p] = k; return; }
    if(ans[p]) ans[ls] = ans[rs] = ans[p], ans[p] = 0;//区间覆盖直接下推
    if(ul <= mid) update(ls, l, mid, ul, ur, k);
    if(ur > mid) update(rs, mid + 1, r, ul, ur, k);
}
ll query(int p, int l, int r, int x)//单点查询
{
    if(l == r) return ans[p];
    if(ans[p]) ans[ls] = ans[rs] = ans[p], ans[p] = 0;//区间覆盖直接下推
    if(x <= mid) return query(ls, l, mid, x);
    if(x > mid) return query(rs, mid + 1, r, x);
}
#undef ls
#undef rs
#undef mid
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d%d%d", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].h);
        b[i] = a[i].x; b[n + i] = a[i].y;//离散化数组记录下所有x,y
    }
    sort(b + 1, b + 2 * n + 1);//排序
    int _n = unique(b + 1, b + 2 * n + 1) - (b + 1);//去重，_n为去重后x,y端点个数
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(a[i].x != a[i].y)//x=y没有作用
    {
        int x = a[i].x, y = a[i].y;
        a[i].x = lower_bound(b + 1, b + _n + 1, a[i].x) - b;
        a[i].y = lower_bound(b + 1, b + _n + 1, a[i].y) - b;//离散化
        val[a[i].x] = x; val[a[i].y] = y;//原值
    }
    sort(a + 1, a + n + 1, cmp);//按h从小到大排序
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(a[i].x != a[i].y)//防止y-1<x
            update(1, 1, _n - 1, a[i].x, a[i].y - 1, a[i].h);//更新,注意结点个数是_n-1，端点y要变成矩形区域y-1，可以画图理解一下，相当于把端点x右边的矩形区域编号为x
    ll res = 0;
    for(int i = 1; i < _n; i++)
        res += query(1, 1, _n - 1, i) * (val[i + 1] - val[i]);
    printf("%lld\n", res);
    return 0;
}