洛谷P3648 [APIO2014]序列分割（斜率优化）

传送门

没想到这种多个状态转移的还能用上斜率优化……学到了……

首先我们可以发现，切的顺序对最终答案是没有影响的

比方说有一个序列$abc$，每一个字母都代表几个数字，那么先切$ab$再切$bc$，得分是$ab+bc+ac$，而如果先切$bc$再切$ab$，得分也是$ab+bc+ac$，不难看出得分是一样的

那么我们可以考虑一下转移方程$$dp[a][i]=max\{dp[a-1][j]+sum[j]*(sum[i]-sum[j])\}$$

其中$a$表示切几刀，$sum$表示前缀和

然后发现空间复杂度太大了，又发现每一刀的状态只与前一刀有关，那么可以用滚动数组优化

然后上面的转移是$O(n^2k)$的，那么考虑用斜率优化优化到$O(nk)$（以下省略dp的第一维）

我们假设$j>k$且$j$比$k$更优，则有$$dp[j]+sum[j]*(sum[i]-sum[j])>dp[k]+sum[k]*(sum[i]-sum[k])$$

$$(dp[j]-sum[j]^2)-(dp[k]-sum[k]^2)>sum[i]*sum[k]-sum[i]*sum[j]$$

因为$sum[k]-sum[j]$是负数，所以除的时候不等式要变号

$$\frac{(dp[j]-sum[j]^2)-(dp[k]-sum[k]^2)}{sum[k]-sum[j]}<sum[i]$$

然后直接上斜率优化

注意特判$sum[k]-sum[j]=0$，随便返回极大值或极小值

顺便注意记录路径

 //minamoto
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #define ll long long
 using namespace std;
 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 inline int read(){
     #define num ch-'0'
     char ch;bool flag=;int res;
     while(!isdigit(ch=getc()))
     (ch=='-')&&(flag=true);
     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
     (flag)&&(res=-res);
     #undef num
     return res;
 }
 char sr[<<],z[];int C=-,Z;
 inline void Ot(){fwrite(sr,,C+,stdout),C=-;}
 inline void print(int x){
     if(C><<)Ot();if(x<)sr[++C]=,x=-x;
     while(z[++Z]=x%+,x/=);
     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]=' ';
 }
 const int N=;
 int to[][N],q[N],n,k,h,t,r;
 ll sum[N],dp[][N];
 inline double slope(int j,int k){
     if(sum[j]==sum[k]) return 1e18;
     return ((dp[r^][j]-sum[j]*sum[j])-(dp[r^][k]-sum[k]*sum[k]))*1.0/(sum[k]-sum[j]);
 }
 int main(){
     //freopen("testdata.in","r",stdin);
     n=read(),k=read();
     for(int i=;i<=n;++i) sum[i]=read()+sum[i-];
     for(int a=;a<=k;++a){
         r=a&;
         h=t=;
         for(int i=;i<=n;++i){
             while(h<t&&slope(q[h],q[h+])<sum[i]) ++h;
             to[a][i]=q[h];
             dp[r][i]=dp[r^][q[h]]+sum[q[h]]*(sum[i]-sum[q[h]]);
             while(h<t&&slope(q[t],q[t-])>slope(q[t-],i)) --t;q[++t]=i;
         }
     }
     printf("%lld\n",dp[k&][n]);
     for(int i=k,u=n;i;--i){
         u=to[i][u];
         print(u);
     }
     Ot();
     return ;
 }