BZOJ 3625: [Codeforces Round #250]小朋友和二叉树

3625: [Codeforces Round #250]小朋友和二叉树

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Description

我们的小朋友很喜欢计算机科学，而且尤其喜欢二叉树。
考虑一个含有n个互异正整数的序列c[1],c[2],...,c[n]。如果一棵带点权的有根二叉树满足其所有顶点的权值都在集合{c[1],c[2],...,c[n]}中，我们的小朋友就会将其称作神犇的。并且他认为，一棵带点权的树的权值，是其所有顶点权值的总和。
给出一个整数m，你能对于任意的s(1<=s<=m)计算出权值为s的神犇二叉树的个数吗？请参照样例以更好的理解什么样的两棵二叉树会被视为不同的。
我们只需要知道答案关于998244353(7*17*2^23+1,一个质数)取模后的值。

Input

第一行有2个整数 n,m(1<=n<=10^5; 1<=m<=10^5)。
第二行有n个用空格隔开的互异的整数 c[1],c[2],...,c[n]（1<=c[i]<=10^5)。

Output

输出m行，每行有一个整数。第i行应当含有权值恰为i的神犇二叉树的总数。请输出答案关于998244353(=7*17*2^23+1,一个质数)取模后的结果。

Sample Input

样例一：
2 3
1 2
样例二：
3 10
9 4 3
样例三：
5 10
13 10 6 4 15

Sample Output

样例一：
1
3
9
样例二：
0
0
1
1
0
2
4
2
6
15
样例三：
0
0
0
1
0
1
0
2
0
5

HINT

对于第一个样例，有9个权值恰好为3的神犇二叉树：

Source

VFleaKing & pyx1997 感谢wyl8899提供中文翻译

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据说是道生成函数+多项式计算水题，所以机房里只有我这样的蒟蒻才不会做。

设F(x)中的i次方项系数表示权值和为i的二叉树的个数。（这个就是最终答案函数）

设C(x)中的i次方项系数表示权值i是否出现在可选集合内。（这其实就是C集合的bitset表示）

然后得到$F=CF^2+1$，其中C为枚举根节点权值，两个F分别是左右子树，+1代表可能是一棵空树。

化简得到$CF^2-F+1=0$，根据一元二次方程求根公式，这个多项式方程的根就是$\frac{1\pm\sqrt{1-4C}}{2C}$。

然后嘞，就支持一下多项式开方，多项式求逆好了，其中需要用到NTT和两个倍增算法，然而蒟蒻的我并不会，只好向Monster_Yi大佬和LincHpin大爷虚心请教。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>

 template <class T>
 inline void read(T &x)
 {
     x = ;
     char c = getchar();
     while (c < )c = getchar();
     while (c > )x = x* + c - , c = getchar();
 }

 template <class T>
 inline void swap(T &a, T &b)
 {
     T c;
     c = a;
     a = b;
     b = c;
 }

 const int P = ;
 const int D = ;
 const int N = ;

 inline int pow(int a, int b)
 {
     int r = ;

     while (b)
     {
         if (b & )
             r = 1LL * r * a % P;

         b >>= , a = 1LL * a * a % P;
     }

     return r;
 }

 inline void ntt(int *a, int len, int type)
 {
     for (int i = , t = ; i < len; ++i)
     {
         if (i > t)swap(a[i], a[t]);
         for (int j = (len >> ); (t ^= j) < j; j >>= );
     }

     for (int h = ; h <= len; h <<= )
     {
         int wn = pow(, (P - ) / h);

         for (int i = ; i < len; i += h)
         {
             int wk = ;

             for (int j = ; j < (h >> ); ++j, wk = 1LL * wk * wn % P)
             {
                 int t = 1LL * wk * a[i + j + (h >> )] % P;

                 a[i + j + (h >> )] = (a[i + j] - t + P) % P;
                 a[i + j] = (a[i + j] + t) % P;
             }
         }
     }

     if (type == -)
     {
         for (int i = ; i < (len >> ); ++i)
             swap(a[i], a[len - i]);

         int inv = pow(len, P - );

         for (int i = ; i < len; ++i)
             a[i] = 1LL * a[i] * inv % P;
     }
 }

 void inv(int *a, int *b, int len)
 {
     if (len == )
         b[] = pow(a[], P - );
     else
     {
         static int t[N];

         inv(a, b, len >> );

         memcpy(t,         a, len * sizeof(int));
         memset(t + len,    , len * sizeof(int));

         ntt(t, len << , );
         ntt(b, len << , );

         for (int i = ; i < len << ; ++i)
             b[i] = 1LL * b[i] * ( - 1LL * t[i] * b[i] % P + P) % P;

         ntt(b, len << , -);

         memset(b + len,    , len * sizeof(int));
     }
 }

 void sqrt(int *a, int *b, int len)
 {
     if (len == )
         b[] = ;
     else
     {
         static int c[N], d[N];

         sqrt(a, b, len >> );

         memset(d,        , len * sizeof(int));
         memset(d + len, , len * sizeof(int));

         inv(b, d, len);

         memcpy(c,         a, len * sizeof(int));
         memset(c + len, , len * sizeof(int));

         ntt(c, len << , );
         ntt(b, len << , );
         ntt(d, len << , );

         for (int i = ; i < len << ; ++i)
             b[i] = (1LL * c[i] * d[i] % P + b[i]) % P * D % P;

         ntt(b, len << , -);

         memset(b + len, , len * sizeof(int));
     }
 }

 int n, m, len;

 int a[N], b[N];

 signed main(void)
 {
     read(n);
     read(m);

     a[] = ;

     for (len = ; len <= m; len <<= );

     for (int i = , x; i <= n; ++i)
         if (read(x), x <= m)a[x] = P - ;

     sqrt(a, b, len);

     memcpy(a, b, len * sizeof(int)), ++a[];
     memset(b, , len * sizeof(int)), inv(a, b, len);
     memcpy(a, b, len * sizeof(int));

     for (int i = ; i <= m; ++i)
         printf("%d\n", (a[i] << ) % P);
 }

@Author: YouSiki