【刷题】BZOJ 4176 Lucas的数论

Description

去年的Lucas非常喜欢数论题，但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了。

在整理以前的试题时，发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”，其中 表示i的约数个数。他现在长大了，题目也变难了。

求如下表达式的值：

其中 表示ij的约数个数。

他发现答案有点大，只需要输出模1000000007的值。

Input

第一行一个整数n。

Output

一行一个整数ans，表示答案模1000000007的值。

Sample Input

2

Sample Output

8

HINT

对于100%的数据n <= 10^9。

Solution

弱化版在【刷题】BZOJ 3994 [SDOI2015]约数个数和

式子一模一样

把最后的式子用杜教筛求就好了

#include<bits/stdc++.h>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
#define ull unsigned long long
const int MAXN=1000000+10,Mod=1e9+7;
int n,cnt,vis[MAXN],prime[MAXN],mu[MAXN],s[MAXN];
std::map<int,ll> M;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(ch!='\0')putchar(ch);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void init()
{
	memset(vis,1,sizeof(vis));
	vis[0]=vis[1]=0;
	mu[1]=1;
	for(register int i=2;i<MAXN;++i)
	{
		if(vis[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(register int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<MAXN;++j)
		{
			vis[i*prime[j]]=0;
			if(i%prime[j])mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			else break;
		}
	}
	for(register int i=1;i<MAXN;++i)s[i]=(s[i-1]+mu[i])%Mod;
}
inline ll S(int x)
{
	if(x<MAXN)return s[x];
	if(M.find(x)!=M.end())return M[x];
	ll res=0;
	for(register int i=2;;)
	{
		if(i>x)break;
		int j=x/(x/i);
		(res+=1ll*(j-i+1)*S(x/i)%Mod)%=Mod;
		i=j+1;
	}
	return M[x]=(1-res+Mod)%Mod;
}
inline ll f(int x)
{
	ll res=0;
	for(register int i=1;;)
	{
		if(i>x)break;
		int j=x/(x/i);
		(res+=1ll*(j-i+1)*(x/i)%Mod)%=Mod;
		i=j+1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	read(n);init();
	ll res=0;
	for(register int i=1;;)
	{
		if(i>n)break;
		int j=n/(n/i);
		ll now=f(n/i);
		(res+=1ll*(S(j)-S(i-1)+Mod)%Mod*now%Mod*now%Mod)%=Mod;
		i=j+1;
	}
	write(res,'\n');
	return 0;
}