洛谷 P1080 国王游戏 题解

原题

传送门

思路

分析

我们先假设队伍如下：

People	left hand	right hand
Before	\(S_a\)
A	\(a_1\)	\(b_1\)
B	\(a_2\)	\(b_2\)
After	\(S_b\)

现在我们要交换A、B，队伍如下：

People	left hand	right hand
Before	\(S_a\)
B	\(a_2\)	\(b_2\)
A	\(a_1\)	\(b_1\)
After	\(S_b\)

我们可以发现：这样交换对于Before 和 After部分的结果没有影响，只对A 和 B 的部分结果有影响。

对于交换前的答案：

\(ans1=\max\{\dfrac{S_a}{b_1},\dfrac{S_a\times a_1}{b_2}\}\)

对于交换后的答案：

\(ans2=\max\{\dfrac{S_a}{b_2},\dfrac{S_a\times a_2}{b_1}\}\)

我们知道,这些数都是大于等于\(1\)的正整数,于是：

\(\dfrac{S_a\times a_1}{b_2} \ge \dfrac{S_a}{b_2}\)

\(\dfrac{S_a\times a_2}{b_1} \ge \dfrac{S_a}{b_1}\)

因此，当我们假定 \(ans1 < ans2\)时，一定是：

\(\dfrac{S_a\times a_1}{b_2} < \dfrac{S_a\times a_2}{b_1}\)

化简得：

\(a_1\times a_2 < b_1 \times b_2\)

算法

显然，此关系满足传递性，即当

\(a_1\times a_2 < b_1 \times b_2\)

\(b_1\times b_2 < c_1 \times c_2\)

有：

\(a_1\times a_2 < c_1 \times c_2\)

因此，我们可以贪心，只要按此规则排序，再统计答案即可,注意要高精

代码

压位高精：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

#define ll long long

const int MAXN = 1010;
const int base = 10000;

int n;
struct people{
	int x,y;
	bool operator < (const people &b ) const {
		return (ll)x * y < (ll)b.x * b.y;
	}
}peo[MAXN];

struct bignum{//only mul ,comp ans so on
	int a[1020],len;
	bignum() {//初始化
		memset(a,0,sizeof(a));
		len = 1;
	}
	void resize(){//限制位数
		len = 1010;
		for(int i = len - 1;i >= 0;i--)
			if( a[i] > 0 ) {
				len = i + 1;
				return;
			}
		len = 1;
	}
	bool operator < (const bignum &b) const{//比大小
		if ( len != b.len) return len < b.len;
		for(int i = len - 1 ;i >= 0 ;i--){
			if(a[i] != b.a[i]) return a[i] < b.a[i];
		}
		return 0;
	}

	bignum operator * (const int &b) const{ //乘法（高精乘int）
		bignum c;
		for(int i = 0; i < len ;i++){
			c.a[i] += a[i] * b;
			if( c.a[i] >= base) {
				c.a[i+1] += c.a[i]/base;
				c.a[i] %= base;
			}
		}
		c.resize();
		return c;
	}

	bignum operator / (const int &b) const{//除法（高精除int）
		ll temp = 0;
		bignum c;
		if( b == 0) {
			printf("Error!");
			return c;
		}
		for(int i = len -1;i >= 0;i--){
			temp = temp * base + a[i];
			if(temp >= b) {
				c.a[i] = temp / b;
				temp %= b;
			}
		}
		c.resize();
		return c;
	}

	void print (){//输出
		resize();
		printf("%d",a[len-1]);
		if ( len > 1)
		for(int i = len - 2;i >=0;i--){
			printf("%04d",a[i]);
		}
		return;
	}
};
int main (){
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 0;i <= n;i++){
		scanf("%d %d",&peo[i].x,&peo[i].y);
	}
	sort(peo+1,peo+n+1);
	bignum ans,tot;
	tot.a[0] = 1 ;
	tot = tot * peo[0].x;
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		bignum temp = tot / peo[i].y;
		tot = tot * peo[i].x;
		if( ans < temp ) ans = temp;
	}
	ans.print();
	return 0;
}

反思总结

应该是太久没写压位高精了，打错了INF回，我有几个出错的地方：

1. 在resize() 函数里未在最后设置len=1 ,导致数为0时len很大
2. resize() 函数里面把 return 写成break; ，导致每个被resize()的数的len=1
3. base可以去1e5但只取了1e4
4. print()函数里面输出记忆错误：

printf("%4d",a[i]);

显然，少了0

5. *函数里面写成了：

bignum operator * (const int &b) const{
		bignum c;
		for(int i = 0; i < len ;i++){
			c.a[i] = a[i] * b;
			if( c.a[i] >= base) {
				c.a[i+1] += c.a[i]/base;
				c.a[i] %= base;
			}
		}
		c.resize();
		return c;
	}

总的来说，我也要多练习压位高精……