题解 HDU1565 【方格取数(1)】

给你一个n*n的格子的棋盘，每个格子里面有一个非负数。
从中取出若干个数，使得任意的两个数所在的格子没有公共边，就是说所取的数所在的2个格子不能相邻，并且取出的数的和最大。

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题目清晰明了，这道题应该用dp。

自然地想到$dp[i][j]$表示位置$(i, j)$的最大值，但是在状态转移的时候推不出来。

这是因为子状态缺少表示选择情况的维度，即：你不知道某一个特定的点有没有被取。

因此自然地想到$dp[i][j][s]$其中$s$储存着一个状态。

但是经过简单的计算就可以发现，时间复杂度过高，即便这道题有5000ms的时限都妥妥的TLE。

因此我们需要状态压缩。

所以想到了$dp[i][s]$其中$i$表示第$i$行，而$s$表示这一行的选择状态，用一个二进制数储存。（0为留下1为取走）

思考一下不难得出状态转移方程：

dp[i][s1] = max(dp[i][s1], dp[i - ][s2] + tmp);

其中$tmp$为第$i$行在$s1$状态下的值，$dp$数组初始化也是一样的。

要注意，题目中说明了格子不能相邻，所以在预处理的时候可以凭此缩小枚举范围。（不缩小会炸）

大致思路就是这样了，具体的一下优化因人而异。有一个要注意的点就是杭电最近会出玄学结果，刚开始本蒟蒻开小了数组导致越界，结果结果是WA，害得调了很久才发现。

完整AC代码如下：（好像是495ms吧）

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #include <cstring>
 #include <vector>
 using namespace std;

 inline int read() {

 }

 const int maxn = ;

 int n;
 int sq[maxn][maxn];
 int top[maxn], ok[];

 void init() {
     int tp = , co = ;
     for(int i = ; i < ( << (maxn - )); i++) {
         if(!(i&(i<<))) {
             ok[tp++] = i;
 //            cout << i << endl;
         }
         if(i == ( << co) - ) top[co++] = tp;
     }
 //    cout << top << endl;
     return ;
 } 

 int dp[maxn][];

 int value(int line, int state) {
     int ans = , pos, t = ;
     while(state) {
         pos = state % ;
         if(pos == ) ans += sq[line][t];
         t++;
         state /= ;
     }
     return ans;
 }

 void dp_init() {
 //    cout << top << endl;
     for(int i = ; i < n; i++) {
         for(int s = ; s < top[n]; s++) {
             dp[i][s] = value(i, ok[s]);
 //            cout << dp[i][s] << ' ';
         }
 //        cout << endl;
     }
     return ;
 }

 void solve() {
     for(int i = ; i < n; i++) {
         for(int s1 = ; s1 < top[n]; s1++) {
             int tmp = dp[i][s1];
             for(int s2 = ; s2 < top[n]; s2++) {
                 if(!((ok[s1] | ok[s1] <<  | ok[s1] >> ) & ok[s2])) {
                     dp[i][s1] = max(dp[i][s1], dp[i - ][s2] + tmp);
                 }
             }
         }
     }
     return ;
 } 

 int main() {
     init();
 //    for(int i = 1; i <= 20; i++) cout << top[i] << ' ';
 //    cout << endl;
     while(scanf("%d", &n) != EOF) {
         for(int i = ; i < n; i++) {
             for(int j = ; j < n; j++) {
                 scanf("%d", &sq[i][j]);
             }
         }
         dp_init();
         solve();
         int ans = ;
         for(int i = ; i < top[n]; i++) {
             ans = max(ans, dp[n - ][i]);
         }
         printf("%d\n", ans);
     }
     return ;
 }

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题外话：洛谷上好像有一道类似的紫题（网络流24题的），只不过不是正方形是长方形，而且实现也只有1000ms。