斜率优化dp练习

1.HDU3507

裸题，有助于理解斜率优化的精髓。

dp[i]=min(dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])²)

很显然不是单调队列。

根据斜率优化的的定义，就是先设两个决策j,k

什么时候我们认为在 i 的环境下 j 比 k 好呢？根据上面的递推式，得到下面这么一个式子

dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])²<dp[k]+m+(sum[i]-sum[k])²

打开括号：

dp[j]+m+sum[i]²+sum[j]²-2*sum[i]*sum[j]<dp[k]+m+sum[i]²+sum[k]²-2*sum[i]*sum[k]

移项，将有 i 的项移到右侧：

dp[j]+sum[j]²-dp[k]-sum[k]²<2*sum[i]*(sum[j]-sum[k])

除下来：

(dp[j]+sum[j]²-dp[k]-sum[k]²)/[2*(sum[j]-sum[k])]<sum[i]

好了这就是斜率了^_^

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 typedef long long lnt;
 int Q[];
 lnt sum[];
 lnt dp[];
 int h,t;
 lnt n;
 lnt m;
 lnt X(int x)
 {
     return dp[x]+sum[x]*sum[x];
 }
 lnt tp(int i,int j)
 {
     return X(i)-X(j);
 }
 lnt btm(int i,int j)
 {
     return *sum[i]-*sum[j];
 }
 int main()
 {
     while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF)
     {
         sum[]=;
         for(int i=;i<=n;i++)
             scanf("%lld",&sum[i]);
         for(int i=;i<=n;i++)
             sum[i]+=sum[i-];
         h=t=;
         Q[]=;
         dp[]=;
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             while(h<t&&(tp(Q[h+],Q[h])<=sum[i]*btm(Q[h+],Q[h])))
                 h++;
             dp[i]=dp[Q[h]]+m+(sum[i]-sum[Q[h]])*(sum[i]-sum[Q[h]]);
             while(h<t&&(tp(Q[t],Q[t-])*btm(i,Q[t])>=tp(i,Q[t])*btm(Q[t],Q[t-])))
                 t--;
             Q[++t]=i;
         }
         printf("%lld\n",dp[n]);
     }
     return ;
 }

2.BZOJ1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

这道题依然斜率单调

dp方程自己推：

dp[i]=min(dp[j]+(i-j-1+sum[i]-sum[j]-L)²)

依然假设在 i 的环境下决策 j 优于 k

那么：

dp[j]+(i-j-1+sum[i]-sum[j]-L)²<dp[k]+(i-k-1+sum[i]-sum[k]-L)²

将常数项与与 i 有关的项放到一起，展开：

(sum[j]+j)²-2*(i+sum[i]-L-1)*(sum[j]+j)+dp[j]<(sum[k]+k)²-2*(i+sum[i]-L-1)*(sum[k]+k)+dp[k]

设函数 f(x)=sum[x]+x , h(x)=x+sum[x]-L-1 , g(x)=dp[x]+f(x)²

得到当：

g(j)-g(k)<2*h(i)*(f(j)-f(k)) 时，j 比 k 优秀。

f(x)单调递增，斜率单调。

时间复杂度O(n)

代码：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 typedef long long lnt;
 lnt sum[];
 lnt dp[];
 int Q[];
 int h,t;
 int n;
 lnt L;
 lnt f(int x)
 {
     return (sum[x]+(lnt)(x));
 }
 lnt k(int x)
 {
     return ((lnt)(x)+sum[x]-L-);
 }
 lnt g(int x)
 {
     return (dp[x]+f(x)*f(x));
 }
 lnt squ(lnt x)
 {
     return x*x;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%lld",&n,&L);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         scanf("%lld",&sum[i]);
         sum[i]+=sum[i-];
     }
     Q[]=;
     dp[]=;
     h=t=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         while(h<t&&g(Q[h+])-g(Q[h])<2ll*k(i)*(f(Q[h+])-f(Q[h])))
             h++;
         dp[i]=dp[Q[h]]+squ((lnt)(i-Q[h]-)+sum[i]-sum[Q[h]]-L);
         while(h<t&&(((g(Q[t-])-g(Q[t]))*(f(Q[t])-f(i)))>((g(Q[t])-g(i))*(f(Q[t-])-f(Q[t])))))
             t--;
         Q[++t]=i;
     }
     printf("%lld\n",dp[n]);
     return ;
 }

3.BZOJ1911: [Apio2010]特别行动队

斜率单调。

方程自己推：

设：g(x)=a*x²+b*x+c

dp[i]=max(dp[j]+g(sum[i]-sum[j]))

设在 i 环境下决策 j 优于 k

dp[j]+g(sum[i]-sum[j])>dp[k]+g(sum[i]-sum[k])

设f(x)=dp[x]+a*sum[x]²-b*sum[x]

则当：

f(j)-f(k)>2*a*sum[i]*(sum[j]-sum[k])

设 j > k 斜率单调

时间复杂度O(n)

代码：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 typedef long long lnt;
 lnt sum[];
 lnt dp[];
 int Q[];
 int h,t;
 int n;
 lnt a,b,c;
 lnt f(int x)
 {
     return dp[x]+a*sum[x]*sum[x]-b*sum[x];
 }
 lnt g(lnt x)
 {
     return a*x*x+b*x+c;
 }
 int main(void)
 {
     sum[]=;
     h=t=;
     scanf("%d",&n);
     scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         scanf("%lld",&sum[i]);
         sum[i]+=sum[i-];
     }
     Q[]=;
     dp[]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         while(h<t&&(f(Q[h+])-f(Q[h]))>*a*sum[i]*(sum[Q[h+]]-sum[Q[h]]))
             h++;
         dp[i]=dp[Q[h]]+g(sum[i]-sum[Q[h]]);
         while(h<t&&(f(Q[t])-f(Q[t-]))*(sum[i]-sum[Q[t]])<=(f(i)-f(Q[t]))*(sum[Q[t]]-sum[Q[t-]]))
             t--;
         Q[++t]=i;
     }
     printf("%lld\n",dp[n]);
     return ;
 }

4.BZOJ4518: [Sdoi2016]征途

这次变成二维的了。

都一样，展开方程+斜率优化。

这次要对于每一天进行O(n)转移，共m天，时间复杂度O(n*m)

代码：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 typedef long long lnt;
 lnt dp[][];
 lnt sum[];
 int Q[];
 lnt n,m;
 lnt L;
 int h,t;
 lnt squ(lnt x)
 {
     return x*x;
 }
 lnt f(int x,int i)
 {
     return dp[x][i]+m*squ(sum[x])+2ll*L*sum[x];
 }
 int main()
 {
     scanf("%lld%lld",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         scanf("%lld",&sum[i]);
         sum[i]+=sum[i-];
     }
     L=sum[n];
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         dp[i][]=m*squ(sum[i])-2ll*L*sum[i];
     }
     for(int d=;d<=m;d++)
     {
         t=h=;
         Q[]=;
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             while(h<t&&(f(Q[h+],d-)-f(Q[h],d-))<2ll*m*sum[i]*(sum[Q[h+]]-sum[Q[h]]))
                 h++;
             dp[i][d]=dp[Q[h]][d-]+m*squ(sum[i]-sum[Q[h]])-2ll*L*(sum[i]-sum[Q[h]]);
             while(h<t&&(f(Q[t],d-)-f(Q[t-],d-))*(sum[i]-sum[Q[t]])>(f(i,d-)-f(Q[t],d-))*(sum[Q[t]]-sum[Q[t-]]))
                 t--;
             Q[++t]=i;
         }
     }
     printf("%lld\n",dp[n][m]+squ(L));
     return ;
 }