【CF960G】Bandit Blues

【CF960G】Bandit Blues

题面

洛谷

题解

思路和这道题一模一样，这里仅仅阐述优化的方法。

看看答案是什么：

\[Ans=C(a+b-2,a-1)\centerdot s(n-1,a+b-2)
\]

组合数我们已经可以\(O(N)\)求了，主要是第一类斯特林数存在问题。

考虑它的转移：

\[s(n,m)=s(n-1,m-1)+(n-1)*s(n-1,m)
\]

根据这个转移，我们写出它\(n\)固定时的生成函数

\[G(x)=\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)
\]

然后每一个\(s(n,m)\)就是升序第\(m\)项的次数。

为什么生成函数是这个？

引用\(yyb\)的：

把\(n\)为定值时的所有的第一类斯特林数按照\(n\)分类分成行，发现每次的\(s(n,m)\)转移必定要从\(n−1\)行转移过来，而每次转移都是\(m−1\)变到\(m\)，系数为\(1\)，因此有一项\(x\)，同理有一项\(n−1\)，因此就可以得到上面的那个生成函数。

然后对于这个东西我们用分治+\(NTT\)就可以\(O(n\log^2)\)地做了。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int Mod = 998244353;
int fpow(int x, int y) {
	int res = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) res = 1ll * res * x % Mod;
		y >>= 1;
		x = 1ll * x * x % Mod;
	}
	return res;
}
const int G = 3, iG = fpow(G, Mod - 2);
const int MAX_N = 3e5 + 5;
int rev[MAX_N], Limit;
void NTT(vector<int> &p, int op) {
	for (int i = 0; i < Limit; i++) if (i < rev[i]) swap(p[i], p[rev[i]]);
	for (int i = 1; i < Limit; i <<= 1) {
		int rot = fpow(op == 1 ? G : iG, (Mod - 1) / (i << 1));
		for (int j = 0; j < Limit; j += (i << 1)) {
			int w = 1;
			for (int k = 0; k < i; k++, w = 1ll * w * rot % Mod) {
				int x = p[j + k], y = 1ll * w * p[i + j + k] % Mod;
				p[j + k] = (x + y) % Mod, p[i + j + k] = (x - y + Mod) % Mod;
			}
		}
	}
	if (op == -1) {
		int inv = fpow(Limit, Mod - 2);
		for (int i = 0; i < Limit; i++) p[i] = 1ll * inv * p[i] % Mod;
	}
}

vector<int> mul(vector<int> &A, vector<int> &B) {
	static vector<int> C;
	C.clear();
	int p = 0, sz = A.size() + B.size() - 2;
	for (Limit = 1; Limit <= sz + 1; Limit <<= 1, ++p);
	for (int i = 0; i < Limit; i++) rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (p - 1));
	A.resize(Limit), B.resize(Limit);
	NTT(A, 1), NTT(B, 1);
	for (int i = 0; i < Limit; i++) C.push_back(1ll * A[i] * B[i] % Mod);
	NTT(C, -1);
	return C;
}
vector<int> Div(int l, int r) {
	vector<int> L, R;
	if (l == r) return {l, 1};
	int mid = (l + r) >> 1;
	L = Div(l, mid), R = Div(mid + 1, r);
	return mul(L, R);
}
int fac(int x) { int res = 1; for (int i = 1; i <= x; i++) res = 1ll * res * i % Mod; return res; }
int C(int n, int m) {
	if (m > n) return 0;
	else return 1ll * fac(n) * fpow(fac(m), Mod - 2) % Mod * fpow(fac(n - m), Mod - 2) % Mod;
}
vector<int> Ans;
int main () {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("cpp.in", "r", stdin);
#endif
	int N, A, B;
	cin >> N >> A >> B;
	if (!A || !B || A + B - 2 > N - 1) return puts("0") & 0;
    if (N == 1) return puts("1") & 0;
	Ans = Div(0, N - 2);
	printf("%d\n", (int)(1ll * Ans[A + B - 2] * C(A + B - 2, A - 1) % Mod));
	return 0;
}