组合数学1.4&3.10 By cellur925

本文引用于清华大学出版社卢开澄、卢华明《组合数学第五版》。

今天我们稍微讨论下圆排列以及$n$对夫妻的问题。

1.4圆周排列

这个问题是：从$n$个人中取$r$个在圆周上，我们用$Q(n,r)$表示这个答案。

类比简单的直线排列，不同之处在于首尾的处理，圆周情况可能会有很多重复。

不难理解，$Q(n,r)$=$P(n,r)$/$n$。

例1：5个男生，3个女生围一圆桌坐，按照上面的公式，代入我们可以得出式子：$8!$/8=$7!$。

　　　要求男生$B1$不和女生$G1$x相邻坐？考虑把$G1$排除，7个人围一圆桌，那么有$6!$种方案，$G1$插入有5种方法，所以根据乘法原理，总方案数为$5*6!$。

　　　要求3个女生不相邻？参考上一问的解题方法，排除他们仨，有$4!$种方案，3个女生依次插入，根据乘法原理，总方案数为$4!*5*4*3$。

例2：$n$对夫妻围一圆桌坐，求每队夫妻相邻而坐的方案数。

　　   考虑把夫妻二人进行捆绑，看成一个人，那么有$(n-1)!$种方案，因为夫妻左右坐是不定的，所以总方案数为$2^n*(n-1)!$。

例3：有12个人分两桌，每桌6人，围着圆桌而坐，有多少方案？　　根据上面的式子，显然有$C(12,6)*(5!)^2$。

　　  12对夫妻平分为2桌，围圆桌而坐相邻有多少方案？　　　显然有$C(12,6)*（5!*2^6）^2$。

3.10 $n$对夫妻问题

我们要解决的，是$n$对夫妻围圆桌而坐，求夫妻不相邻的方案数。

这个问题运用了很综合的数论问题，需要用到容斥原理。

我们不妨把这个问题抽象成集合间的问题，令$A_i$表示第i对人坐在一起的集合

$ans=|\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap \overline{A_3}\cap ...\overline{A_n}|$

（上面那个横线是取反的意思，就是$A_i$表示第i对人坐在一起的集合，那么带个横线就是表示第$i$对人不坐在一起。）

这就是一个容斥原理了。

以下我引用Chemist的题解==

再回顾一下$A_i$的含义，$A_i$表示第i对人坐在一起的集合，那么考虑只有一对人坐在一起有多少种情况呢，可以把这一对人看成一个人，反正他们总要坐在一起，问题就变成了$2n-1$个人围坐在圆桌上，共有$(2n-1-1)!$种情况，注意还要乘上一个2，因为这一对人可以换位，还要再乘上一个C(n,1)，因为不同的一对人坐在一起的方案是不同的。其他的同理，这样我们就可以算出后面每个式子的具体值。

$ans=N-\sum_{i=1}^{n}|A_i|+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}|A_i\cap A_j|...+(-1)^n|A_1\cap A_2\cap A_3...\cap A_n|$

$=(2n-1)!-2C(n,1)(2n-2)!+2^2C(n,2)(2n-3)!...$

$=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i2^iC(n,i)(2n-i-1)!$

ex：有男女各5人，其中3对是夫妻，沿10个位置的圆桌就座，若每对夫妻都要坐在相邻的位置，问有多少种坐法？

把夫妻继续捆绑，变成了7人，那么方案数就是$6!*2^3$