[AHOI2014&&JSOI2014][bzoj3876] 支线剧情 [上下界费用流]

题面

传送门

思路

转化模型：给一张有向无环图，每次你可以选择一条路径走，花费的时间为路径上边权的总和，问要使所有边都被走至少一遍（可以重复），至少需要花费多久

走至少一遍，等价于覆盖这条边

也就是说，我们要找这个图的一个可重复的路径覆盖

路径覆盖让我们想到什么算法了呢？

网络流啊！

我们考虑建立网络流图模型。

这道题里面有个关键：走过一条边，走几次就要花几次的费用，这想到什么？

费用流嘛！

我们定义走一次路径会给这条路径上的所有边增加1的流量，再给所有边赋一个费用等于边权

这样，我们只要设每条边的流量有一个1的下限，上限为无限大，就能做了

还要把所有的剧情结束点（没有出边的）连到一个超级汇点，源点就是1号点

跑一个最小费用可行流即可

这里附上最小费用可行流的教程

最小费用可行流

考虑一张网络流图，每条边定义为(u,v,w,l,r)，代表从u到v的一条有向边，费用为w，容量为[l,r]闭区间，源点s汇点t已知，且保证源点没有入边、汇点没有出边

同时定义常规费用流图的边为(u,v,w,cap)

现在我们需要求这张图的最小费用可行流（就是满足所有边的流量上下限制，同时费用最小）

按照如下方式建立附加边和附加点：

1.建立附加源点SS，和附加汇点TT

2.对于原图中每一个点（包括源汇）u,令d[u]代表u点的所有入边的流量下界减去出边的流量下界

2.1.如果d[u]是负数，那么从u连一条边(u,TT,0,-d[u])到TT

2.2.如果d[u]是正数，那么从SS连一条边(SS,u,0,d[u])到u

3.对于原图中每一条边(u,v,w,l,r)，连边(u,v,w,r-l)

4.连边(t,s,0,inf)（注意这里是原图的源汇点！不是附加的源汇点！！）

这样以后，从SS到TT跑新图的最小费用最大流，再加上原图中每条边的下界流量乘以费用（必须跑的部分），就是最小费用可行流的费用了

为什么？

我们考虑一个点，流入边流量下界比流出边流量下界大1，即d[u]==1

此时，我们要有一个“补流”的思想

此时出小于入，那么出边的流量下界就会比入边的小1

因为下界一定是要满的，而我们如果希望消除下界影响，新图中的旧图的边，流量上届一定是(r-l)

那我们势必要找一个方法，令这个比较小的流量流出下界，能与比较大的流量流入下界“平起平坐”

这个时候，假如我们从超级源补1的流量过来，那是不是相当于“帮了”输出边一把，平衡了一下“实力强大”的输入边呢？

这样我们就完成了补流过程

上面那段是感性理解，如果想看证明的话，可以看看神犇的博客

神犇的博客

Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
int inf=1e9+7;
using namespace std;
inline int read(){
    int re=0,flag=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){
        if(ch=='-') flag=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return re*flag;
}
int n,ans,first[510],cnt=-1;
int dis[510],vis[510],q[20010],head,tail;
struct edge{
    int to,next,w,cap;
}a[100010];
inline void add(int u,int v,int w,int cap){
    a[++cnt]=(edge){v,first[u],w,cap};first[u]=cnt;
    a[++cnt]=(edge){u,first[v],-w,0};first[v]=cnt;
}
bool spfa(int s,int t){
    int i,u,v,w;head=0,tail=1;
    memset(dis,-1,sizeof(dis));memset(vis,0,sizeof(vis));
    q[0]=t;dis[t]=0;vis[t]=1;
    while(head<tail){
        u=q[head++];vis[u]=0;
        for(i=first[u];~i;i=a[i].next){
            if(!a[i^1].cap) continue;
            v=a[i].to;w=a[i].w;
            if(dis[v]==-1||dis[v]>dis[u]-w){
                dis[v]=dis[u]-w;
                if(!vis[v]){
                    vis[v]=1,q[tail++]=v;
                }
            }
        }
    }
    return ~dis[s];
}
int dfs(int u,int t,int limit){
    if(u==t){vis[t]=1;return limit;}
    int i,v,f,flow=0;vis[u]=1;
    for(i=first[u];~i;i=a[i].next){
        v=a[i].to;
        if((dis[v]==dis[u]-a[i].w)&&(a[i].cap)&&(!vis[v])){
            f=dfs(v,t,min(limit,a[i].cap));
            if(f){
                flow+=f;limit-=f;
                ans+=f*a[i].w;
                a[i].cap-=f;a[i^1].cap+=f;
                if(!limit) return flow;
            }
        }
    }
    return flow;
}
int costflow(int s,int t){//我写的是从某博客上学的改进版zkw费用流
    int re=0;
    while(spfa(s,t)){
        vis[t]=1;
        while(vis[t]){
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            re+=dfs(s,t,inf);
        }
    }
    return re;
}
int d[510];
int main(){
    memset(first,-1,sizeof(first));
    n=read();int i,t1,t2,t3,j;
    for(i=1;i<=n;i++){
        t1=read();
        for(j=1;j<=t1;j++){
            t2=read();t3=read();
            d[i]--;d[t2]++;ans+=t3;//流量下界其实都是一
            add(i,t2,t3,inf);
        }
    }
    for(i=2;i<=n;i++){
        add(i,n+1,0,inf);
    }
    for(i=1;i<=n;i++){//补流过程
        if(d[i]>0) add(0,i,0,d[i]);
        if(d[i]<0) add(i,n+2,0,-d[i]);
    }
    add(n+1,1,0,inf);
    costflow(0,n+2);
    cout<<ans<<endl;
}