Sum BZOJ 3944

Sum

【问题描述】

给定一个正整数 N ( N <= 2³¹ - 1 )

求:

【输入格式】

一共T+1行

第1行为数据组数T(T<=10)

第2~T+1行每行一个非负整数N，代表一组询问

【输出格式】

一共T行，每行两个用空格分隔的数ans1,ans2

【样例输入】

6
1
2
8
13
30
2333

【样例输出】

1 1
2 0
22 -2
58 -3
278 -3
1655470 2

---

题解：

首先推一波式子

上式就是杜教筛的原理

:

:

对于的求解方式在上面已经给出了

那么求出前项答案并记忆化状态，就能达到的时间复杂度

由于  ，那么我们求的每一项的参数都是  形式的

对于  小于等于的答案我们已经预处理出了

所以我们只需要记忆大于的答案

首先提出一个命题：对于 ， 都不相同

证明：

假设 ，且

那么

m_{i ,} m_j 表示两者的余数，它们的差为

因为，所以

那么，而，假设不成立

所以不存在，使得

证毕

所以在 时，成立

那么，我们就能直接使用数组存，对于每一个参数，我们将其除k的结果作为下标储存答案

 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int maxm = 2e6 + ;
 const int maxn = 1e4 + ;
 int n;
 int pri[maxm];
 bool vis[maxm];
 struct couple
 {
     long long miu, phi;
 };
 couple ans[maxn], ori[maxm];
 inline void Scan(int &x)
 {
     char c;
     bool o = false;
     while(!isdigit(c = getchar())) o = (c != '-') ? o : true;
     x = c - '';
     while(isdigit(c = getchar())) x = x *  + c - '';
     if(o) x = -x;
 }
 int m;
 inline void Sieve()
 {
     int tot = ;
     m = maxm - ;
     ori[] = (couple) {, };
     for(int i = ; i <= m; ++i)
     {
         if(!vis[i])
         {
             pri[++tot] = i;
             ori[i] = (couple) {-, i - };
         }
         for(int j = ; j <= tot; ++j)
         {
             int k = pri[j];
             long long s = (long long) i * k;
             if(s > m) break;
             vis[s] = true;
             if(!(i % k))
             {
                 ori[s].miu = ;
                 ori[s].phi = ori[i].phi * k;
                 break;
             }
             else
             {
                 ori[s].miu = -ori[i].miu;
                 ori[s].phi = ori[i].phi * ori[k].phi;
             }
         }
     }
     for(int i = ; i <= m; ++i)
     {
         ori[i].miu += ori[i - ].miu;
         ori[i].phi += ori[i - ].phi;
     }
 }
 couple Solve(int x)
 {
     if(x <= m) return ori[x];
     int e = n / x;
     if(vis[e]) return ans[e];
     int last;
     couple c, s;
     s.miu = , s.phi = x * ((long long) x + ) >> ;
     for(long long i = ; i <= x; i = (long long) last + )
     {
         last = x / (x / i);
         c = Solve(x / i);
         s.miu -= c.miu * (long long) (last - i + ), s.phi -= c.phi * (long long) (last - i + );
     }
     vis[e] = true, ans[e] = s;
     return s;
 }
 int main()
 {
     int T;
     Scan(T);
     Sieve();
     while(T--)
     {
         Scan(n);
         memset(vis, false, sizeof(vis));
         if(n <= m) printf("%lld %lld\n", ori[n].phi, ori[n].miu);
         else
         {
             couple answer = Solve(n);
             printf("%lld %lld\n", answer.phi, answer.miu);
         }
     }