OpenCV 之 角点检测

角点 (corners) 的定义有两个版本：一是 两条边缘的交点，二是 邻域内具有两个主方向的特征点。

一般而言，角点是边缘曲线上曲率为极大值的点，或者 图像亮度发生剧烈变化的点。例如，从人眼角度来看，下图的 $E$ 和 $F$ 便是典型的角点

1  检测思路

在图像中定义一个局部小窗口，然后沿各个方向移动这个窗口，则会出现 a) b) c) 三种情况，分别对应平坦区、边缘和角点

a)  窗口内的图像强度，在窗口向各个方向移动时，都没有发生变化，则窗口内都是 “平坦区”，不存在角点

b)  窗口内的图像强度，在窗口向某一个 (些) 方向移动时，发生较大变化；而在另一些方向不发生变化，那么，窗口内可能存在 “边缘”

c)  窗口内的图像强度，在窗口向各个方向移动时，都发生了较大的变化，则认为窗口内存在 “角点”

a)  flat region                         b)  edge                                     c)  corner

2  Harris 角点

2.1  公式推导

图像在点 $(x,y) $ 处的灰度值为 $I(x, y)$，当在 $x$ 方向上平移 $u$，且 $y$ 方向上平移 $v$ 时，图像灰度值的变化为

　$ \qquad E(u,v) = \sum\limits_{x,y}  \, \underbrace{w(x,y)}_\text{window function} \; [\underbrace{I(x+u, y+v)}_\text{shifted intensity} - \underbrace{I(x, y)}_\text{intensity}]^2 $

一阶泰勒级数近似展开得

$ \qquad \sum\limits_{x,y}  \; [I(x+u, y+v) - I(x, y)]^2 \approx \sum\limits_{x,y}  \; [I(x, y) +uI_x + vI_y - I(x, y)]^2 = \sum\limits_{x,y}  \; [u^2I_x^2 + 2uvI_x I_y + v^2I_y^2 ] $

写成矩阵形式

$ \qquad E(u,v) \approx \begin{bmatrix} u & v \end{bmatrix} \left ( \displaystyle \sum_{x,y} w(x,y) \begin{bmatrix} I_x^{2} & I_{x}I_{y} \\ I_xI_{y} & I_{y}^{2} \end{bmatrix} \right ) \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}$

则有

$ \qquad E(u,v) \approx \begin{bmatrix} u & v \end{bmatrix} M \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}$，    假定  $ M = \displaystyle \sum_{x,y} w(x,y) \begin{bmatrix} I_x^{2} & I_{x}I_{y} \\ I_xI_{y} & I_{y}^{2} \end{bmatrix}$

2.2  判别方法

定义一个角点响应值$\qquad R = det(M) - k(trace(M))^{2} = \lambda_{1} \lambda_{2} - k (\lambda_{1}+\lambda_{2})^2 $

根据响应值的大小，判断小窗口内是否包含角点：

1) “平坦区”：|R| 小的区域，即 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 都小；

2)  “边缘”： R <0 的区域，即 $\lambda_1 >> \lambda_2$ 或反之；

3)  “角点”： R 大的区域，即 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 都大且近似相等

为了便于直观理解，绘制成 $\lambda_1-\lambda_2$ 平面如下图：

2.3  cornerHarris()

OpenCV 中 Harris 角点检测的函数为:

void cv::cornerHarris (
    InputArray      src,   // 输入图像 (单通道，8位或浮点型)
    OutputArray     dst,   // 输出图像 (类型 CV_32FC1，大小同 src)
    int      blockSize,    // 邻域大小
    int      ksize,        // Sobel 算子的孔径大小
    double   k,            // 经验参数，取值范围 0.04 ~ 0.06
    int      borderType = BORDER_DEFAULT    // 边界模式
)     

2.4  代码示例

#include "opencv2/highgui.hpp"
#include "opencv2/imgproc.hpp"

using namespace cv;
// Harris corner parameters
int  kThresh = 150;
int kBlockSize = 2;
int kApertureSize = 3;
double k = 0.04;

int main()
{
    // read image
    Mat src, src_gray;
    src = imread("building.jpg");
    if(src.empty())
        return -1;

    cvtColor(src, src_gray, COLOR_BGR2GRAY);

    Mat dst, dst_norm, dst_norm_scaled;
    // Harris corner detect
    cornerHarris(src_gray, dst, kBlockSize, kApertureSize, k);

    normalize(dst, dst_norm, 0, 255, NORM_MINMAX, CV_32FC1);
    convertScaleAbs(dst_norm, dst_norm_scaled);

    // draw detected corners
    for(int j=0; j < dst_norm.rows; j++)
    {
        for(int i=0; i<dst_norm.cols;i++)
        {
            if((int)dst_norm.at<float>(j,i) > kThresh)
            {
                circle(src, Point(i, j), 2, Scalar(0,255,0));
            }
        }
    }

    imshow("harris corner", src);

    waitKey(0);
}

检测结果：

3  Shi-Tomasi 角点

Shi-Tomasi 角点是 Harris 角点的改进，在多数情况下，其检测效果要优于 Harris。二者的区别在于，Shi-Tomasi 选取 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 中的最小值，作为新的角点响应值 $R$

$\qquad R = min(\lambda_1, \lambda_2)  $

则相应的 $\lambda_1-\lambda_2$ 平面为：

3.1  goodFeaturesToTrack()

OpenCV 中 Shi-Tomasi 角点检测函数为：

void cv::goodFeaturesToTrack (
        InputArray      image,     // 输入图像 (单通道，8位或浮点型32位)
        OutputArray     corners,   // 检测到的角点
        int         maxCorners,    // 最多允许返回的角点数量
        double      qualityLevel,  //
        double      minDistance,   // 角点间的最小欧拉距离
        InputArray  mask = noArray(), //
        int         blockSize = 3,    //
        bool        useHarrisDetector = false,  //
        double      k = 0.04  //
    )     

3.2  代码示例

#include "opencv2/highgui.hpp"
#include "opencv2/imgproc.hpp"

using namespace cv;
using namespace std;

int kMaxCorners = 1000;
double kQualityLevel = 0.1;
double kMinDistance = 1;

int main()
{
    // read image
    Mat src, src_gray;
    src = imread("building.jpg");
    if (src.empty())
        return -1;

    cvtColor(src, src_gray, COLOR_BGR2GRAY);
    // Shi-Tomasi corner detect
    vector<Point2f> corners;
    goodFeaturesToTrack(src_gray, corners, kMaxCorners, kQualityLevel, kMinDistance);

    // draw and show detected corners
    for (size_t i = 0; i < corners.size(); i++)
    {
        circle(src, corners[i], 2.5, Scalar(0, 255, 0));
    }
    imshow("Shi-Tomasi corner", src);

    waitKey(0);
}

检测结果：

4  角点检测的实现

在 OpenCV 中分析 cornerHarris() 函数的源码，得到实现步骤如下：sobel 算子求解 dx 和 dy  ->  矩阵 M  -> boxFilter  -> 每个像素的角点响应值 R

代码实现：

#include <iostream>
#include "opencv2/highgui.hpp"
#include "opencv2/imgproc.hpp"

using namespace cv;
using namespace std;

int kApertureSize = 3;
int kBlockSize = 2;
double k = 0.04;
int  kThresh = 150;

int main()
{
    // read image
    Mat src, src_gray;
    src = imread("chessboard.png");
    if (src.empty())
        return -1;

    cvtColor(src, src_gray, COLOR_BGR2GRAY);

　　//  scale
    int depth = src_gray.depth();
    double scale = (double)(1 << (2* kBlockSize));

    if (depth == CV_8U)
        scale *= 255.0;
    scale = 1.0 / scale;

    // 1) dx, dy
    Mat Dx, Dy;
    Sobel(src_gray, Dx, CV_32F, 1, 0, kApertureSize, scale);
    Sobel(src_gray, Dy, CV_32F, 0, 1, kApertureSize, scale);

    // 2) cov
    Size size = src_gray.size();
    Mat cov(size, CV_32FC3);

    for (int i = 0; i < size.height; i++)
    {
        float* cov_data = cov.ptr<float>(i);
        const float* dxdata = Dx.ptr<float>(i);
        const float* dydata = Dy.ptr<float>(i);

        for (int j=0; j < size.width; j++)
        {
            float dx = dxdata[j];
            float dy = dydata[j];

            cov_data[j * 3] = dx * dx;
            cov_data[j * 3 + 1] = dx * dy;
            cov_data[j * 3 + 2] = dy * dy;
        }
    }

    // 3) boxfilter
    boxFilter(cov, cov, cov.depth(), Size(kBlockSize, kBlockSize));

    // 4) R
    Mat dst(size,CV_32FC1);
    Size size_cov = cov.size();

    for (int i = 0; i < size_cov.height; i++)
    {
        const float* ptr_cov = cov.ptr<float>(i);
        float* ptr_dst = dst.ptr<float>(i);

        for (int j=0; j < size_cov.width; j++)
        {
            float a = ptr_cov[j * 3];
            float b = ptr_cov[j * 3 + 1];
            float c = ptr_cov[j * 3 + 2];
            ptr_dst[j] = (float)(a * c - b * b - k * (a + c) * (a + c));
        }
    }

    // 5) normalize
    Mat dst_norm, dst_norm_scaled;
    normalize(dst, dst_norm, 0, 255, NORM_MINMAX, CV_32FC1);
    convertScaleAbs(dst_norm, dst_norm_scaled);

    // 6) draw detected corners
    for (int j = 0; j < dst_norm.rows; j++)
    {
        for (int i = 0; i < dst_norm.cols; i++)
        {
            if ((int)dst_norm.at<float>(j, i) > 150)
            {
                circle(src, Point(i, j), 2, Scalar(0, 255, 0));
            }
        }
    }

    imshow("Harris corner", src);

    waitKey(0);
}

5  亚像素角点检测

亚像素角点的提取函数 cornerSubPix()，常用于相机标定中，定义如下：

5.1  cornerSubpix()

void cv::cornerSubPix(
        InputArray        image,    // 输入图象(单通道，8位或浮点型)
        InputOutputArray  corners,  // 亚像素精度的角点坐标
        Size      winSize,   // 搜索窗口尺寸的 1/2
        Size     zeroZone,   //
        TermCriteria   criteria  // 迭代终止准则
)     

5.2  代码示例

#include <iostream>

#include "opencv2/highgui.hpp"
#include "opencv2/imgproc.hpp"

using namespace cv;
using namespace std;

int kMaxCorners = 40;
double kQualityLevel = 0.01;
double kMinDistance = 50;

int main()
{
    // 1) read image
    Mat src, src_gray;
    src = imread("chessboard.png");
    if (src.empty())
        return -1;

    cvtColor(src, src_gray, COLOR_BGR2GRAY);
    // 2) Shi-Tomasi corner detect
    vector<Point2f> corners;
    goodFeaturesToTrack(src_gray, corners, kMaxCorners, kQualityLevel, kMinDistance);

    // 3) draw and show detected corners
    for (size_t i = 0; i < corners.size(); i++)
    {
        circle(src, corners[i], 3, Scalar(0, 255, 0));
    }
    imshow("Shi-Tomasi corner", src);

    TermCriteria criteria = TermCriteria(TermCriteria::EPS + TermCriteria::COUNT, 40, 0.001);
    // 4) find corner positions in subpixel
    cornerSubPix(src_gray, corners, Size(5, 5), Size(-1, -1), criteria);
    // 5) output subpixel corners
    for (size_t i = 0; i < corners.size(); i++)
    {
        cout << "Corner[" << i << "]: (" << corners[i].x << "," << corners[i].y << ")" << endl;
    }
    waitKey(0);
}

输入棋盘格5行8列，对应7x4个角点，图像的分辨率为 600*387，则所有角点的理论坐标如下表：

        

角点的图象坐标值输出如下：

参考资料：

《图像局部不变性特征与描述》 第 3 章

https://www.cnblogs.com/ronny/p/4009425.html

http://www.cse.psu.edu/~rtc12/CSE486/

OpenCV Tutorials / feature2d module / Harris corner detector

OpenCV-Python Tutorials / Feature Detection and Description / Shi-Tomasi Corner Detector & Good Features to Track

OpenCV Tutorials / feature2d module / Creating your own corner detector

OpenCV Tutorials / feature2d module / Detecting corners location in subpixels