CSP-S2019 题解

做了这套题，如果是让现在的我当时去考的话应该一共可以有 450 分，格雷码，括号树，树的重心都可以做，树上的数可以有 10 分，Emiya 至少可以有 76 分， 划分也可以有 64 分。看 OIerDB 上可以有 166 名的好成绩。

我的代码合集：洛谷 / 云剪贴板

[CSP-S2019] 格雷码

首先是格雷码有一个很好的生成方式，最低位 \(0110\) 的循环，次高位 \(00111100\) 的循环……

也就是说第 \(i\) 位由 \(2^{i}\) 个 \(0\)，\(2^{i + 1}\) 个 \(1\)，再来 \(2^i\) 个 \(0\) 来循环，并且这与总共有多少位是没有关系的！

那么我们就可以利用这个方法生成给定的第 \(k\) 个数，输出前 \(n\) 位即可。

[CSP-S2019] 括号树

首先我们考虑只有一条链怎么做。

将 () 看作 \(1 / -1\)，做出前缀和序列。

那么对于每一个区间 \([l, r]\)，为合法括号序列当且仅当 \(pre_{l - 1} = pre_r\) 并且 \(\min_{l \le i \le r} = pre_r\)。

于是可以利用单调栈，对于每一个右端点找到满足第二个条件的区间（也就是在前面第一个 \(\lt pre_r\) 后的左端点都满足第二个条件），顺便记录一下与栈顶相等的数的个数即可。

如果放在树上，我们只需要一个支持撤销的栈即可。

[CSP-S2019] 树上的数

抽象题，我只会 \(n!\) 和菊花图的做法 QwQ

[CSP-S2019] Emiya 家今天的饭

首先有一个很 naive 的 \(O(m n^3)\) DP，稍稍卡常应该是完全可以过的。

具体来说，我们发现之多只有一个不满足 \(\le \lfloor \frac k2 \rfloor\) 的食材，那么我们枚举这个食材是什么即可。

接下来，我们设 \(f_{i, j, k}\) 表示对于这个食材，考虑了前 \(i\) 种烹饪方法，选择了 \(j\) 种这个食材，一共选择了 \(k\) 种。那么枚举这一次的选择就可以转移了。

令 \(S_i\) 表示第 \(i\) 种烹饪方式有多少种选择，即 \(S_i = \sum a_{i, k}\)，如果当前食材为 \(z\)，那么转移为：

\[f_{i, j, k} = f_{i - 1, j, k} + f_{i - 1, j - 1, k - 1} \times a_{i, z} + f_{i - 1, j, k - 1} \times (S_i - a_{i, z})
\]

最后我们只需要 \(\sum_{j \gt \lfloor \frac k2 \rfloor} f_{n, j, k}\) 即可。

然而这极度不优秀，将 \(j \le \lfloor \frac k2 \rfloor\) 转化为 \(j \gt k - j\)，那么我们只需要 \(\sum_{j \gt k - j} f_{n, j, k}\) 即可，也就是我们只关注 \(j\) 与 \((k - j)\) 的差值，那么我们按照这个作为 DP 对象即可。

\[f_{i, d} = f_{i - 1, d} + f_{i - 1, d - 1} \times a_{i, z} + f_{i - 1, d + 1} \times (S_i - a_{i, z})
\]

这就是 \(O(m n^2)\) 的了，可以过。

[CSP-S2019] 划分

首先，\(O(n^2)\) 的 DP 是简单的，我们只需要记录 \(f_i\) 表示最小代价，\(g_i\) 表示使得为最小代价最后一段的最小值。

然而我们需要 \(O(n)\) QwQ，于是考虑 \(a^2 + b^2 \le (a + b)^2\)，也就是我们需要使得划分出的段最多，那么只需要利用一个单调队列即可。

具体来说，我们需要找到 \(g_j \le pre_i - pre_j\) 的最大的 \(j\)，也就是 \(g_j + pre_j \le pre_i\) 的 \(j\) 即可，由于 \(pre_i\) 是单调的，这容易利用单调队列维护。

[CSP-S2019] 树的重心

见我的另一篇文章：[CSP-S2019] 树的重心 题解