Manacher(马拉车)

Able was I ere I saw Elba.     ----Napoléon Bonaparte(拿破仑)

一、回文串&回文子串

　  这个很好理解。

　　如果一个字符串正着读和反着读是一样的，那它就是回文串。 eg. abba ；

　　如果一个字符串 S 的子串 SS 为回文串，那么 SS 即为 S 的回文子串；若 SSS 为 S 的回文子串中最长的一个，那么我们称 SSS 为 S 的最长回文子串。

二、Manacher算法

　　如何找到一个字符串的最长回文子串呢？

　　我们很容易想到一个 O(n²) 的方法，即：从每个字符开始向两边爆搜。但显然，这个方法效率太低下了。

　　如何快速求出答案，这就是 Manacher算法的事了。

　　Ⅰ. 奇回文&偶回文

　　　　字面意思，不再赘述。

　　　　如果同时存在奇回文和偶回文，那么处理起来会比较的繁琐，下面就是Manacher 一个很巧妙的方法了：在字符串收尾，即各字符间插入一个特殊的字符（指没有出现过的字符），例如：

aba  ----> #a#b#a#
abba ----> #a#b#b#a#

　　　　这样，所有的回文串就都成奇回文了。

inline int Pre()
{
    S[0]='@',S[1]='#';
    int j(1);
    for(register int i=0,len=IP.size();i<len;++i) S[++j]=IP[i],S[++j]='#';
    S[++j]='\0';return j;
}

预处理

　　Ⅱ. 最长回文半径

　　　　令一个回文串中最左或最右位置的字符与其对称轴的距离称为 " 回文半径 "，令 R [ i ] 表示字符 i 的最长回文半径。

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
S	@	a	#	b	#	b	#	a	#	b	$
R[i]	边界	1	1	2	4	2	1	4	1	2	边界

　　　　显然，R [ i ] - 1 即为以 i 为中心的最长回文子串的长度。

　　　　那么，我们要求的最长回文子串，就成了 max { R [ i ] - 1 } 。

　　　　如何快速求出 R [ ] ？？？

　　Ⅲ. Manacher

　　　　从左往右依次讨论。

　　　　设 Max 为已讨论的子串中能达到的右端最大位置，P 为提供当前 Max 的字符位置。如下表：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
					Max的对称点					P					Max

　　　　

　　　　接下来讨论的位置 i 可以分为两种情况：小于等于 Max  ，大于 Max：

　　　　　　1. 小于等于 Max :

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
					Max的对称点			j(i的对称点）		P		i			Max

　　　　　　由于 i 和 j 对称 ，所以求出 i 的对称点 j ，简直是 "轻易而举" 。

　　　　　　

　　　　　　不难发现现在有可以分为两种情况讨论：

　　　　　　　　　( 1 ) . 以 j 为对称轴的回文串比较短：那么可以直接令 R [ i ] = R [ j ] ；

　　　　　　　　  ( 2 ) . 以 j 为对称轴的回文串比较长：此时，我们只能确定不超过 Max 的部分的情况，对于 Max 以外的，我们需要以 i 为中心开始往两侧拓展，直到两侧不同，同时更新 p 和 Max。

　　　　　　　

　　　　　　　2. 大于 Max :  这种情况很好处理，直接拓展就可以了（当然，要同时更新 p 和 Max）

　　Ⅳ. 代码

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char S[50000005];
int m,R[50000005];
string IP;
inline int Pre()
{
    S[0]='@',S[1]='#';
    int j(1);
    for(register int i=0,len=IP.size();i<len;++i) S[++j]=IP[i],S[++j]='#';
    S[++j]='\0';return j;
}
inline int Manacher()
{
    m=Pre();
    int RET(-1),x(0),Max(0);
    for(register int i=1;i<m;++i)
    {
        if(i<Max) R[i]=min(R[2*x-i],Max-i+1);
        else R[i]=1;
        while(S[i-R[i]]==S[i+R[i]]) ++R[i];
        if(Max<i+R[i]-1) x=i,Max=i+R[i]-1;
        RET=max(RET,R[i]-1);
    }
    return RET;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>IP,cout<<Manacher();
    return 0;
}

Manacher

　　Ⅴ. 时间复杂度

　　　　由于Max是不断向右拓展的，最多拓展 n 次，不难得出 马拉车 的时间复杂度是线性的，即 O( n )。