2.16图论专题PB

超神建图技巧合集

CF1368G

每个骨牌变成让空位移动的至多两条有向边，证明图中无环，形成森林。

然后黑白染色，两类森林互不影响。转为每次标记 A 类一棵子树与 B 类一棵子树形成的所有点对。

再转化，子树 -> 欧拉序列，变为矩阵交，线段树搞定。

CF1458D

0 为右走一步，1 为左走一步，操作即为将一段回路反着走。

可猜想证明导出的无向图的任意一条欧拉路径均合法。

字典序最小的欧拉路径用贪心。本题中可以记录一个点左边的边全部被访问判断是否可以向右走。

CF1466H

转化为每次删掉一些基环树中所有的环，然后将失去出边的点重新指向下一个点。然后分层 dp。

CF986F

在数轴上的建图，在模的意义下求最短路。

Pollar-Rho 很好用，但是一定要特判掉边界情况啊啊啊啊。。。（我的 Pr 在 n=4 时会死循环）

CF1142E

利用强连通分量的性质就是了，没什么好说的（

注意遍历补图 $k$ 条边的时间复杂度为 $O(m+k)$ （$m$ 为原图边数）。

CF1148G

1. 莫比乌斯反演可以迅速求出一个数列中与某一个数互质的数个数

2. $10^7$ 内的数质因子实测最多有 $448$ 个hh

3. $O(n \log n)$ 筛出 $10^7$ 内所有数的因数只需要约 1.5s

4. 建图技巧：取补图。 题目中原来是要 “不互素连边，求 团 或 无 n-1 度点” ，变为 “互素连边，求 独立集 或 无孤立点”，easy~

CF1268D

没什么，注意有时候说“最少进行多少次”，有时候可能是仔细思考，分析性质，只需要1~2次。。。

特别是像这道题，说“最少进行多少次”，还要算出“有多少种方案取到最小值”。。。

CF1240F

一个很厉害的技巧：凭空将无向图拆点为二分图。

不要问为什么，想到就行了（

然后，一个点可以根据度数拆成多个点。

然后这道题就成了：给定一个二分图，其中点的最大度数为 $k$，求一种边染 $k$ 色的方案，使得每个点出发的边颜色各不相同。

无脑增广：每次新加一条边 $(x,y)$，如果有一种颜色可以同时满足 x 和 y 就直接加入。

否则设 x 的一种合法颜色是 1，y 的一种合法颜色是2。

先让这条边的颜色为 2，然后对 y 说，我要把这条边变成 1。

那么 y 就会对原先它的 1 边的终点说，我要把这条边变成 2。

 

由于是二分图，会发现这样弄无法构成环（否则出现奇环，矛盾）。

然后就这样玩就行了。

 

实现上，记录每个点 $c$ 色出边的编号以及终点。

 

CF718E

很大的图，同类点位压缩合并到一个桶中，迅速转移。