JOI 2020 Final 题解

T1. 只不过是长的领带

大水题，把 \(a_i,b_i\) 从小到大排序。

发现最优方案只可能是大的 \(a_i\) 跟大的 \(b_i\) 匹配，小的 \(a_i\) 与小的 \(b_i\) 匹配。

故前缀后缀各算一遍最大值就行了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define fz(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ffe(it,v) for(__typeof(v.begin()) it=v.begin();it!=v.end();it++)
#define fill0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define fillbig(a) memset(a,63,sizeof(a))
#define pb push_back
#define ppb pop_back
#define mp make_pair
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
const int MAXN=2e5+5;
int n,b[MAXN];pii a[MAXN];
int pre[MAXN],suf[MAXN],ans[MAXN];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n+1;i++) scanf("%d",&a[i].fi),a[i].se=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
	sort(a+1,a+n+2);sort(b+1,b+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=max(pre[i-1],max(a[i].fi-b[i],0));
	for(int i=n;i;i--) suf[i]=max(suf[i+1],max(a[i+1].fi-b[i],0));
	for(int i=1;i<=n+1;i++) ans[a[i].se]=max(pre[i-1],suf[i]);
	for(int i=1;i<=n+1;i++) printf("%d ",ans[i]);
	return 0;
}

T2. JJOOII

发现 \(1\) 操作其实是删除 \(s\) 的一个前缀，\(2\) 操作其实是删除 \(s\) 的一个后缀。

预处理出 \(nxt_{i,0/1/2}\) 表示从 \(i\) 开始最少需要扩展到什么位置才能存在 \(k\) 个 'J'/'O'/'I'，双针扫一遍。

我们枚举这个前缀删了多少个字符，用 \(nxt\) 数组求出在这种情况下后缀最多删了多少个字符，更新答案即可。

时间复杂度 \(\mathcal O(n)\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=2e5+5;
char s[MAXN];
int n,k,nxt[MAXN][3];
int main(){
	scanf("%d%d%s",&n,&k,s+1);
	int cur=1,num=0;
	while(cur<=n&&num<k) num+=(s[cur++]=='J');cur--;
	for(int i=1;i<=n+1;i++){
		nxt[i][0]=cur;
		if(s[i]=='J'){
			if(cur!=n+1) cur++;
			while(cur<=n&&s[cur]!='J') cur++;
		}
	}
	cur=1,num=0;
	while(cur<=n&&num<k) num+=(s[cur++]=='O');cur--;
	for(int i=1;i<=n+1;i++){
		nxt[i][1]=cur;
		if(s[i]=='O'){
			if(cur!=n+1) cur++;
			while(cur<=n&&s[cur]!='O') cur++;
		}
	}
	cur=1,num=0;
	while(cur<=n&&num<k) num+=(s[cur++]=='I');cur--;
	for(int i=1;i<=n+1;i++){
		nxt[i][2]=cur;
		if(s[i]=='I'){
			if(cur!=n+1) cur++;
			while(cur<=n&&s[cur]!='I') cur++;
		}
	}
	int ans=n+1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int r=nxt[i][0];
		if(r!=n+1) r=nxt[r+1][1];
		if(r!=n+1) r=nxt[r+1][2];
		if(r!=n+1) ans=min(ans,r-i+1-(k*3));
	} printf("%d\n",(ans==n+1)?(-1):ans);
}

T3. 集邮比赛

\(dp\)，\(dp_{l,r,k,0/1}\) 表示逆时针收集了 \(l\) 个，顺时针收集了 \(r\) 个，当前在左边还是右边所需的最小时间。

转移从 \(dp_{l,r}\) 更新到 \(dp_{l+1,r}\) 和 \(dp_{l,r+1}\)，看时间是否 \(\leq t_l\) 判断能否收集。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> void chkmin(T &a,T b){if(a>b) a=b;}
template<typename T> void chkmax(T &a,T b){if(a<b) a=b;}
const int MAXN=200+5;
int n,L,x[MAXN],t[MAXN],s[MAXN];
ll dp[MAXN][MAXN][MAXN][2];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&L);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&x[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&t[i]);
	memset(dp,63,sizeof(dp));dp[0][0][0][0]=0;
	for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=0;j+i<n;j++){
		for(int k=0;k<=i+j;k++){
			chkmin(dp[i+1][j][k+((dp[i][j][k][0]+x[i+1]-x[i])<=t[i+1])][0],dp[i][j][k][0]+x[i+1]-x[i]);
			chkmin(dp[i+1][j][k+((dp[i][j][k][1]+L-x[n-j+1]+x[i+1])<=t[i+1])][0],dp[i][j][k][1]+L-x[n-j+1]+x[i+1]);
			chkmin(dp[i][j+1][k+((dp[i][j][k][1]+x[n-j+1]-x[n-j])<=t[n-j])][1],dp[i][j][k][1]+x[n-j+1]-x[n-j]);
			chkmin(dp[i][j+1][k+((dp[i][j][k][0]+L-x[n-j]+x[i])<=t[n-j])][1],dp[i][j][k][0]+L-x[n-j]+x[i]);
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=0;j+i<=n;j++) for(int k=0;k<=i+j;k++){
		if(dp[i][j][k][0]<1e18) chkmax(ans,k);
		if(dp[i][j][k][1]<1e18) chkmax(ans,k);
	} printf("%d\n",ans);
}

T4. 奥运公交

这题想了好久。。。我觉得我要爆了。

首先枚举 \(m\)，计算翻转每条边后 \(1 \to n\) 和 \(n \to 1\) 的最短路。

这里以 \(1 \to n\) 为例，\(n \to 1\) 同理。

翻转后 \(1 \to n\) 的最短路可以分为两种情况：经过这条边和不经过这条边。也就是不经过这条边的 \(1 \to n\) 的最短路，与不经过这条边的 \(1 \to v\) 的最短路 \(+c_i+\) 不经过这条边的 \(u \to n\) 的最短路的较小值。

不难发现不经过这条边的 \(u \to n\) 的最短路的较小值可以通过建反图归约到前一类。

于是本题就变为，如何求出不经过某条边的从源点出发到达某个点的最短路。

不难发现，不在最短路树上的边不会对答案造成影响，故如果这条边不在最短路上，那就返回原始的最短路。

否则，最短路树上的边顶多 \(n-1\) 个，你重新跑 \(n-1\) 次 dijkstra 也能接受。

怎样求最短路树？很简单，你记录每个点的前驱，它们形成的就是一个最短路树。

最后，堆优化的 dijkstra 是 \(m\log m\) 的，朴素 dijkstra 是 \(n^2\) 的。由于本题的图是稠密图，堆优化的 dijkstra 反而跑不过朴素的 dijkstra。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=200+5;
const int MAXM=5e4+5;
int n,m,u[MAXM],v[MAXM],c[MAXM],d[MAXM];
struct graph{
	int hd[MAXN],to[MAXM],nxt[MAXM],cst[MAXM],ec,from,pre[MAXN];
	bool on[MAXM],vis[MAXN];
	ll dist[MAXN],odist[MAXN];
	void adde(int u,int v,int c){
		to[++ec]=v;cst[ec]=c;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;
	}
	void dijkstra(int forbid){
		memset(dist,63,sizeof(dist));
		memset(pre,0,sizeof(pre));
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		dist[from]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			ll mn=1e18;int x=n+1;
			for(int j=1;j<=n;j++) if(dist[j]<mn&&!vis[j]) mn=dist[j],x=j;
			if(x==n+1) break;vis[x]=1;
			for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
				if(e==forbid) continue;
				int y=to[e],z=cst[e];
				if(dist[y]>dist[x]+z){
					dist[y]=dist[x]+z;pre[y]=e;
				}
			}
		}
	}
	void prework(){
		dijkstra(0);
		for(int i=1;i<=n;i++) odist[i]=dist[i];
//		for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",odist[i]);printf("\n");
		for(int i=1;i<=n;i++) on[pre[i]]=1;
	}
	ll calc(int e,int x){
		if(!on[e]) return odist[x];
		dijkstra(e);return dist[x];
	}
} g[4];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	g[0].from=g[2].from=1;g[1].from=g[3].from=n;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d%d",&u[i],&v[i],&c[i],&d[i]);
		g[0].adde(u[i],v[i],c[i]);g[1].adde(u[i],v[i],c[i]);
		g[2].adde(v[i],u[i],c[i]);g[3].adde(v[i],u[i],c[i]);
	}
	for(int i=0;i<4;i++) g[i].prework();
	ll ans=g[0].odist[n]+g[1].odist[1];
	for(int i=1;i<=m;i++){
		ans=min(ans,
		min(g[0].calc(i,n),g[0].calc(i,v[i])+g[3].calc(i,u[i])+c[i])+
		min(g[1].calc(i,1),g[1].calc(i,v[i])+g[2].calc(i,u[i])+c[i])+d[i]);
	}
	if(ans<1e18) printf("%lld\n",ans);
	else printf("-1\n");
	return 0;
}

T5. 火灾

神仙题，待会儿写个题解