【Learning】辛普森积分

辛普森积分

　　

　　这种积分法很暴力：只要求你实现出函数求值\(f(x)\)。

　　

　　使用辛普森积分，我们可以求出函数一段区间\([l,r]\)的近似积分。记\(mid=\frac{l+r}2\)，有：

\[\int_l^rf(x)\;dx\approx\ simpson(l,r)=\frac{f(l)+4f(mid)+f(r)}6*(r-l)
\]

　　

　　

　　其中1,4,1称作科特斯系数。

　　

​　　如果

\[simpson(l,r)\approx simpson(l,mid)+simpson(mid,r)
\]

　　那么我们认为函数在\([l,r]\)的近似积分已经足够精确，可以直接返回\(simpson(l,r)\)。

　　

　　否则，我们需要递归计算\([l,mid]\)和\([mid,r]\)的积分，相加并返回。

　　

　　伪代码如下：

　　

double simpson(double l,double r){
    double mid=(l+r)*0.5;
    return (f(l)+4*f(mid)+f(r))*(r-l)/6;
}
double solve(double l,double r){
    double mid=(l+r)*0.5,midl=(l+mid)*0.5,midr=(mid+r)*0.5;
    if(fabs(simpson(l,r)-simpson(l,mid)+simpson(mid,r))<EPS)
        return simpson(l,r);
    return solve(l,mid)+solve(mid+1,r);
}

　　

　　整体算法的耗时，一在于\(f(x)\)的求值，应实现得尽量够快；二在于\(EPS\)的设置，这决定了程序递归的深度，因为\(EPS\)是程序判断当前计算精度是否足够高的决策标准。\(EPS\)越小，精度越大，但耗时也相应越高。

　　

　　总体的时间复杂度是非常玄学。辛普森积分在应用到某一些十分平滑的函数上时效率一般非常高，可是不排除有丧心病狂出题人专门卡哦。