2018.09.27 hdu5564Clarke and digits（数位dp+矩阵快速幂）

传送门

好题啊。

我只会写l,rl,rl,r都很小的情况（然而题上并没有这种数据范围）。

但这个dp转移式子可以借鉴。

我们用f[i][j][k]f[i][j][k]f[i][j][k]表示当前在第i位，模7余j，当前位是k。

显然有f[i+1][([j∗10+l)f[i+1][([j*10+l)f[i+1][([j∗10+l)%7][l]+=f[i][j][k]7][l]+=f[i][j][k]7][l]+=f[i][j][k]。

但是i上限1e91e91e9，直接做会凉。

于是我们构造矩阵来优化。

我们的矩阵只跟第二，三维有关。

准确的说，令t=10∗j+kt=10*j+kt=10∗j+k，t′=((j∗10+l)t'=((j*10+l)t′=((j∗10+l)%7)∗10+l7)*10+l7)∗10+l。

那么这个t->t’是合法的，就对矩阵对应的val[t][t′]val[t][t']val[t][t′]有1的贡献。

然后会发现需要记录矩阵的前缀和。

这个我们在矩阵最后添一列1来算就行了。

然后就快速幂弄一弄就行了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 72
#define mod 1000000007
using namespace std;
int T,K;
ll L,R;
struct Matrix{ll val[N][N];Matrix(){memset(val,0,sizeof(val));}};
inline Matrix operator*(Matrix a,Matrix b){
	Matrix c;
	for(int i=0;i<N;++i)for(int j=0;j<N;++j)for(int k=0;k<N;++k)
		(c.val[i][j]+=a.val[i][k]*b.val[k][j]%mod)%=mod;
	return c;
}
inline Matrix operator^(Matrix A,int p){
	Matrix ret;
	for(int i=0;i<N;++i)ret.val[i][i]=1;
	while(p){
		if(p&1)ret=ret*A;
		p>>=1,A=A*A;
	}
	return ret;
}
inline int calc(int i,int j){return i*10+j;}
int main(){
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld%lld%d",&L,&R,&K);
		Matrix A,B;
		for(int i=0;i<7;++i)for(int j=0;j<10;++j)for(int k=0;k<10;++k)
			if(j+k!=K)++B.val[calc(i,j)][calc((i*10+k)%7,k)];
		for(int i=0;i<10;++i)++B.val[i][N-1];
		++B.val[N-1][N-1];
		for(int i=1;i<10;++i)++A.val[0][calc(i%7,i)];
		Matrix tmp1=A*(B^R),tmp2=A*(B^(L-1));
		ll ans=((tmp1.val[0][N-1]-tmp2.val[0][N-1])%mod+mod)%mod;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}