Lucas-Kanade算法总结

Lucas-Kanade算法广泛用于图像对齐、光流法、目标追踪、图像拼接和人脸检测等课题中。

一、核心思想

给定一个模板和一个输入，以及一个或多个变换，求一个参数最佳的变换，使得下式最小化

在求最优解的时候，该算法假设目前的变换参数已知，并迭代的计算的增量，使得更新后的能令上式比原来更小。则上式改写为：

二、算法流程

1.初始化参数向量

2.计算及其关于导数，求得参数增量向量

3.更新，

4.若小于某个小量，即当前参数向量基本不变化了，那么停止迭代，否则继续2,3两步骤。

三、具体做法

对做一阶泰勒级数展开，则目标函数变为：

对其求导，并令导数为0，得到下式：

对上式中的求解即可，得到的是的解析解：

其中，

四、Lucas-Kanade算法（前向加性算法）

迭代：

1) 利用，将中各个像素点的坐标对应到中的相应的像素点的坐标，得到。即和的大小尺寸（像素个数和长宽）相同。

2) 计算，获得误差图像。

3) 计算中与经过变换对应的像素点的梯度图像，即计算中各个点在中的梯度。利用，将中各个像素点的坐标对应到的梯度图像中各个点的坐标。

4) 计算在设定下的Jacobian。即代入当前参数，计算。如果是二维坐标，即，也就是说每行是对中每个分量对于的每个参数分量的导数：

5) 计算最速梯度下降图。即利用与中每个像素点相乘。

6) 利用上述提到的公式计算Hessian矩阵

7) 利用上面步骤计算得到的值，计算

8) 利用上述提到的公式计算参数向量的增量

9) 更新，

五、Baker-Matthews算法(逆向组成算法)

预处理：

1) 计算模板的梯度图像

2) 计算在设定下的Jacobian

3) 计算最速梯度下降图。即利用与中每个像素点相乘。

4) 利用公式计算Hessian矩阵

迭代：

5) 利用，将中各个像素点的坐标对应到中的相应的像素点的坐标，得到。即和的大小尺寸（像素个数和长宽）相同。

6) 计算，获得误差图像。

7) 利用上面步骤计算得到的值，计算

8) 利用上述提到的公式计算参数向量的增量

9) 更新，。即将原有的矩阵与矩阵的逆相乘。

六、参考文献和资料

[1]Matthews I, Baker S. Active appearance models revisited[J]. International Journal of Computer Vision, 2004, 60(2): 135-164.

[2]Cootes T F, Edwards G J, Taylor C J. Active appearance models[J]. IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence, 2001, 23(6): 681-685.

[3]Baker S, Matthews I. Lucas-kanade 20 years on: A unifying framework[J]. International Journal of Computer Vision, 2004, 56(3): 221-255.

[4]利用L-K算法实现的图像对齐程序：http://www.codeproject.com/Articles/24809/Image-Alignment-Algorithms