【Ctsc2011】幸福路径

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2306

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给定一张有向图，每个点有权值，蚂蚁从某个节点出发，初始体力值为$1$，每走一条边$体力值*=p$，每经过一个点会获得幸福值为$点权*体力值$，求最大幸福值。即求

${\sum _{i=0}^{\infty }w[i]*p^{i}}$且${U(i-1,i)=1}$其中${U(A,B)}$表示是否存在A到B这样一条路径。

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正解是一个叫做倍增Floyed的东西。

其实就是说考虑到步数是可以走无限步的，我们只需要知道一个近似值，而精度要求也还是比较高的，考虑用倍增的方法快速确定精度。
令${f[i][j][k]}$表示从第$i$个点走到第$j$个点，期间走了${2^{k}}$步。

那么可以利用Floyed进行如下转移：
$${f[i][j][k]=max(\forall (f[i][t][k-1]+f[t][j][k-1]*p^{2^{k}}))}$$

注意$k$这一维是可以滚动的。

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 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 #define maxn 110
 #define inf 0x7fffffff
 #define llg long long
 #define yyj(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
 llg n,m,S;
 double p,ans,a[maxn],f[maxn][maxn],g[maxn][maxn],tmp;
 int main()
 {
     yyj("a");
     cin>>n>>m;
     for (llg i=;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i]);
     cin>>S>>p;
     for (llg i=;i<=n;i++)
         for (llg j=;j<=n;j++)
             if (i!=j) f[i][j]=inf*-;
     for (llg i=;i<=m;i++)
     {
         llg x,y;
         scanf("%lld%lld",&x,&y);
         f[x][y]=a[y];
     }
     llg T=;
     double tmp=p;
     while (T--)
     {
         //tmp*=tmp;
         for (llg i=;i<=n;i++)
             for (llg j=;j<=n;j++)
                 if (i!=j) g[i][j]=inf*-;
         for (llg k=;k<=n;k++)
             for (llg i=;i<=n;i++)
                 for (llg j=;j<=n;j++)
                     g[i][j]=max(g[i][j],f[i][k]+f[k][j]*tmp);
         memcpy(f,g,sizeof f);
         tmp*=tmp;
     }
     for (llg i=;i<=n;i++) ans=max(ans,f[S][i]);
     printf("%.1lf\n",ans*p+a[S]);
     return ;
 }