Pollard-rho算法[因子分解算法]
试除法:最简单的因数分解算法,从$ 2 $到$ \sqrt n $一个一个试。
试除法(改进):从$ 2 $到$ \sqrt n $挑素数一个一个试。
然而这样复杂度是相当高的。
生日悖论:指如果一个房间里有23个或23个以上的人,那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。
我们在$ [2,n) $取一个数,该数是$ n $的因子的概率很小.
我们取$ k $ 个数$ x_1,x_2,x_3...x_k $,而取出的 $ k $ 个数中,$ \exists i,j : (x_i-x_j) | n $ 的概率随着$ k $ 增大而增高。
我们有一个更好的办法:
对选取的$ k $ 个数 $ x_1,x_2,x_3...x_k $,不再询问是否存在$ (x_i-x_j) | n $,改为询问 $ gcd(x_i-x_j,n)>1 $ 的情况。
所以,一个简单的策略如下:
1.在区间$[2,n)$ 中随即选取$ k $个数$ x_1,x_2,x_3...x_k $
2.判断是否存在$ gcd(x_i-x_j,n)>1 $ , 若存在,$ gcd(x_i-x_j,n)>1 $ 是$ n $的一个因子。
我们大概需要选取$ n^{\frac{1}{4}}$个数,这可能存不下。
Pollard's Rho 算法
为了解决数太多无法储存的问题,Pollard's Rho 算法之将两个数存在内存里,我们生成并检查这两个数,反复执行这个步骤并希望得到我们想要的数。
我们不断使用一个函数来生成这个序列(有点像随机数),并非所有函数都可以,但有一个神奇的函数可以$ f(x)=(x^2+a)mod n $; $ a $ 可以指定也可以随机。
这个序列显然是存在环的,如何检测环出现呢?
方法一:floyd判环法
floyd判环法:假如两个人$A、B$在环上走,如何知道已经走完一圈呢? 让$B$以$A$两倍的速度走,$B$第一次赶上$A$时,$B$至少走完一圈了
设定$ x=y=x0 $的初始值,进行迭代,每次:$ x=f(x), y=f(f(y)) $ 即:$ x=x_i,y=x_{2i} $
若$ gcd(x−y,n)=1 $,那么继续枚举下一对 $x,y$ 。
若$ gcd(x−y,n)=n $,更换随机函数 f(x)f(x) ,重新进行算法。
否者我们就找到了一个n的非平凡因子 $ d=gcd(x-y,n) $
当 $x==y$时出现循环,此时$x-y=0$,$ gcd(x−y,n)=n $,即为2情况。
LL pollardRho(LL n, int a){
LL x=,y=,d=;
while(d==){
x=(x*x+a)%n;
y=(y*y+a)%n;y=(y*y+a)%n;
d=gcd(abs(x-y),n);
}
if(d==n) return pollardRho(n,a+);
return d;
}
方法二:brent判环法
不同于floyd每次计算$x_i,x_{2i}$进行判断,brent每次只计算$x_i$,当$k$是2的方幂时,$y=x_k$,每次计算$d=gcd(x_k−y,n)$
LL pollardRho(LL n, int a){
LL x=,y=,d=,k=,i=;
while(d==){
++k;
x=(x*x+a)%n;
d=gcd(abs(x-y),n);
if(k==i){y=x;i<<=;}
}
if(d==n)return pollardRho(n,a+);
return d;
}
求全部因子(结合miller-rabin测试)
LL cnt,fact[];
LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
LL pollardRho(LL n, int a){
LL x=rand()%n,y=x,d=,k=,i=;
while(d==){
++k;
x=ksc(x,x,n)+a;if(x>=n)x-=n;
d=gcd(x>y?x-y:y-x,n);
if(k==i){y=x;i<<=;}
}
if(d==n)return pollardRho(n,a+);
return d;
}
void findfac(LL n){
if(millerRabin(n)){fact[++cnt]=n;return;}
LL p=pollardRho(n,rand()%(n-)+);
findfac(p);
findfac(n/p);
}
例题:POJ1811
https://files-cdn.cnblogs.com/files/Doggu/Pollard-rho%E7%AE%97%E6%B3%95%E8%AF%A6%E8%A7%A3.pdf
https://blog.csdn.net/qq_39972971/article/details/82346390
https://www.cnblogs.com/book-book/p/6349362.html
Pollard-rho算法[因子分解算法]的更多相关文章
- Pollard Rho算法浅谈
Pollard Rho介绍 Pollard Rho算法是Pollard[1]在1975年[2]发明的一种将大整数因数分解的算法 其中Pollard来源于发明者Pollard的姓,Rho则来自内部伪随机 ...
- Pollard rho算法+Miller Rabin算法 BZOJ 3668 Rabin-Miller算法
BZOJ 3667: Rabin-Miller算法 Time Limit: 60 Sec Memory Limit: 512 MBSubmit: 1044 Solved: 322[Submit][ ...
- 初学Pollard Rho算法
前言 \(Pollard\ Rho\)是一个著名的大数质因数分解算法,它的实现基于一个神奇的算法:\(MillerRabin\)素数测试(关于\(MillerRabin\),可以参考这篇博客:初学Mi ...
- Pollard Rho 算法简介
\(\text{update 2019.8.18}\) 由于本人将大部分精力花在了cnblogs上,而不是洛谷博客,评论区提出的一些问题直到今天才解决. 下面给出的Pollard Rho函数已给出散点 ...
- Miller Rabin素数检测与Pollard Rho算法
一些前置知识可以看一下我的联赛前数学知识 如何判断一个数是否为质数 方法一:试除法 扫描\(2\sim \sqrt{n}\)之间的所有整数,依次检查它们能否整除\(n\),若都不能整除,则\(n\)是 ...
- 大整数分解质因数(Pollard rho算法)
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <stdio.h> ...
- BZOJ 5330 Luogu P4607 [SDOI2018]反回文串 (莫比乌斯反演、Pollard Rho算法)
题目链接 (BZOJ) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5330 (Luogu) https://www.luogu.org/prob ...
- Pollard Rho因子分解算法
有一类问题,要求我们将一个正整数x,分解为两个非平凡因子(平凡因子为1与x)的乘积x=ab. 显然我们需要先检测x是否为素数(如果是素数将无解),可以使用Miller-Rabin算法来进行测试. Po ...
- 【快速因数分解】Pollard's Rho 算法
Pollard-Rho 是一个很神奇的算法,用于在 $O(n^{\frac{1}4}) $的期望时间复杂度内计算合数 n 的某个非平凡因子(除了1和它本身以外能整除它的数).事书上给出的复杂度是 \( ...
随机推荐
- SQL----Scalar 函数
UCASE() 函数 UCASE 函数把字段的值转换为大写. SQL UCASE() 语法 SELECT UCASE(column_name) FROM table_name SQL UCASE() ...
- vscode 格式化vue代码单引号变双引号
首选项->设置.输入框输入vetur vscode中设置 "vetur.format.defaultFormatterOptions": { "prettier&q ...
- softmax函数笔记
- Java版本及历史简述
Java版本及历史简述 初学Java,对于Java那么多版本很困惑,这里做一点笔记,如有错误希望指出. Java由Sun公司创造,后Sun公司被Oracle公司收购,Java也随之变为Oracle的产 ...
- Jquery实现对select的操作
select实现对文本框的显示和隐藏 /** * 通过select的值实现对文本框的显示和隐藏 * #id为一个select控件 * .obj为一个文本框 */ function initSelect ...
- pgsql sql字段拼接
1. 一条记录数据字段拼接 语法:concat_ws('拼接符号',字段名,more fields) 例子:concat_ws(':',username,sex)2. 多条记录字段拼接 语法:con ...
- Nginx如何配置https证书?
#把80端口请求跳转到443端口 server { listen 80; server_name 域名; return 301 https://$http_host$request_uri; } se ...
- kubeadm安装k8s1.13
1.环境介绍: centos 7.4.1708 关闭selinux和iptable,环境很重要! 主机 ip地址 cpu核数 内存 swap host解析 k8s-master 10.0.0.11 2 ...
- epoll机制和简述
在linux的网络编程中,很长的时间都在使用select来做事件触发.在linux新的内核中,有了一种替换它的机制,就是epoll.相比于select,epoll最大的好处在于它不会随着监听fd数目的 ...
- .htaccess防盗链方法(文件、图片)
http标准协议中有专门的字段记录referer,一来可以追溯上一个入站地址是什么,二来对于资源文件,可以跟踪到包含显示他的网页地址是什么. 因此所有防盗链方法都是基于这个Referer字段两种方法: ...