最小可观(Minimal Observability Problem in Conjunctive Boolean Networks)

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1. 什么是 conjunctive Boolean network (CBN)

　　仅仅包含and运算。

下面这个式子为恒定更新函数

2. 什么是可观

　定义在时刻k是CBN的状态为 X(k) := [X₁(k) . . . X_n(k) ]′ 以及输出为Y(k) :=[Y₁(k) . . . Y_m(k) ]′ .

　a). CBN在离散时间{0, 1, . . . , N}上可观，如果对于任意两个不同的初始状态X(0)和X'(0)产生不同的输出{Y(0),...,Y(N)}和{Y’(0),...,Y’(N)}。

　b). CBN可观，如果存在N，使得a)成立。

3. 可观必须具有的性质(等价条件)

　　a) 性质O₁：对于每一个非直接可观的节点X_i,X_i是某一个节点Xj唯一的入边的节点，即，存在一个节点Xj，使得，N_in(Xj)=X_i。

　　b) 性质O₂：对于每一个仅由非直接可观的节点组成的环C。C包含一个节点X_i，X_i是某一个节点X_j唯一的入边的节点，即，存在一个节点X_j，使得，N_in(X_j)=X_i并且X_j在环C的外部。

4. 例子

　　Ex 1. 添加观测器，Y₁(k)=X₁(K)。则给定输出Y₁(0)，Y₁(1)，就可以推出初始状态分别为X₁(0)=Y₁(0)，X₂(0)=Y₁(1)。

Ex 2. CBN不具有性质O₁，非可观节点X₃，不存在任何一个节点，使得性质O₁成立。[0 0 0]'和[0 0 1]'是无法区分的，因为它们的输出Y₁(k)=0对于所有的k≥0。

Ex 3. CBN满足性质O₁，但是不满足性质O₂。对于由X₄,X₅,X₆构成的环，X₄不是X₁唯一的进入的节点。[0 0 0 0 0 0]‘和[0 0 0 1 1 1]'对应的输出Y₁(k)=0对于所有的k≥0。