[洛谷P3205] HNOI2010 合唱队

问题描述

为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果，作为AAA合唱队负责人的小A需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共N个人，第i个人的身高为Hi米(1000<=Hi<=2000),并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是A 个人站成一排，为了简化问题，小A想出了如下排队的方式：他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形，然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中：

-第一个人直接插入空的当前队形中。

-对从第二个人开始的每个人，如果他比前面那个人高(H较大)，那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮(H较小)，那么将他插入当前队形的最左边。

当N个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。

例如，有6个人站成一个初始队形，身高依次为1850、1900、1700、1650、1800和1750,

那么小A会按以下步骤获得最终排出的队形：

1850
1850 , 1900 因为 1900 > 1850
1700, 1850, 1900 因为 1700 < 1900
1650 . 1700, 1850, 1900 因为 1650 < 1700
1650 , 1700, 1850, 1900, 1800 因为 1800 > 1650
1750， 1650, 1700，1850, 1900, 1800 因为 1750 < 1800

因此，最终排出的队形是 1750，1650，1700，1850, 1900，1800

小A心中有一个理想队形，他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形

输入格式

无

输出格式

注意要mod19650827

样例输入

4

1701 1702 1703 1704

样例输出

解析

区间DP。

首先想到设$f[i][j]$表示将区间$[i,j]$变为对应区间理想排列的方案数。可以发现，我们在转移时一个不可避免的问题就是不知道如何转移。这个区间的状态不能由两个子区间合并得到，由两个端点转移也存在顺序问题。因此，我们需要升级我们的状态，以便于表示放数的顺序。

注意到两个端点中一定有一个是最后放的，并且是左端点还是右端点取决于前面一个区间最后放的数。设f[i][j]表示将[i,j]变为理想状态且最后放的数为i，g[i][j]表示将[i,j]变为理想状态且最后放的数为j。下面讨论转移。

对于f数组，讨论第i个数与第i+1与第j个数的关系，我们有如下转移方程：

\[f[i][j]=f[i][j]+\begin{cases}
f[i+1][j],a[i]<a[i+1]\\
g[i+1][j],a[i]<a[j]\\
\end{cases}
\]

对于g数组，同理可得如下状态转移方程：

\[g[i][j]=g[i][j]+\begin{cases}
f[i][j-1],a[j]>a[i]\\
g[i][j-1],a[j]>a[j-1]\\
\end{cases}
\]

最后的答案即为$f[1][n]+g[1][n]$。注意初始状态时长度为1的区间只有一种情况，即$f[i][i]=1,g[i][i]=0$。

代码

#include <iostream>

#include <cstdio>

#define N 1002

using namespace std;

int n,i,j,k,a[N],f[N][N],g[N][N];

const int mod=19650827;

int main()

{

	cin>>n;

	for(i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];

	for(i=1;i<=n;i++) f[i][i]=1;

	for(k=1;k<=n;k++){

		for(i=1;i+k-1<=n;i++){

			j=i+k-1;

			if(a[i]<a[i+1]) f[i][j]=(f[i][j]+f[i+1][j])%mod;

			if(a[i]<a[j]) f[i][j]=(f[i][j]+g[i+1][j])%mod;

			if(a[j]>a[i]) g[i][j]=(g[i][j]+f[i][j-1])%mod;

			if(a[j]>a[j-1]) g[i][j]=(g[i][j]+g[i][j-1])%mod;

		}

	}

	int ans=(f[1][n]+g[1][n])%mod;

	cout<<ans<<endl;

	return 0;

}