「区间DP」「洛谷P3205」「 [HNOI2010]」合唱队

洛谷P3205 [HNOI2010]合唱队

题目：

题目描述

为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果，作为 A 合唱队负责人的小 A 需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共 n 个人，第 i 个人的身高为 hi​ 米（1000≤hi≤2000），并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是 A 个人站成一排，为了简化问题，小 A 想出了如下排队的方式：他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形，然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中：

第一个人直接插入空的当前队形中。

对从第二个人开始的每个人，如果他比前面那个人高（h 较大），那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮（h 较小），那么将他插入当前队形的最左边。

当 n 个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。

例如，有 6 个人站成一个初始队形，身高依次为 1850,1900,1700,1650,1800,1750

那么小 A 会按以下步骤获得最终排出的队形：

1850 

1850,1900 ，因为 1900>1850。

1700,1850,1900，因为 1700<1900

1650,1700,1850,1900 ，因为 1650<1700

1650,1700,1850,1900,1800，因为 1800>1650

1750,1650,1700,1850,1900,1800，因为 1750<1800

因此，最终排出的队形是 1750,1650,1700,1850,1900,1800

小 A 心中有一个理想队形，他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形。

请求出答案对 196508271 取模的值。

输入格式

第一行一个整数 n。

第二行 n 个整数，表示小 A 心中的理想队形。

输出格式

输出一行一个整数，表示答案  % 19650827 的值。

输入输出样例

输入 #1

4

1701 1702 1703 1704

输出 #1

8

思路：

第一次遇到多状态的区间DP题，思考时间有点长

由于总共有两种插入方式：大于前一数就放在右边，小于前一数就放在左边，由此可衍生出两种状态：新插入的数在最左边和新插入的数在最右边

因为求得是到达最后序列的方案，就可以这样想：有多少种可能是可以到达最后序列的，可能说的不太清楚，往下看

枚举一段区间i～j，新插入的数要么在最左端要么在最右端，所以f[0][i][j]（0代表在左端插入，1相反，而f[0][i][j]则代表新插入的数在左端的所有可能序列）之前的数要么是原始序列最左端的数a[i+1]要么是最右端的数a[j]，所以f[0][i][j]可以从这两个状态转移过来，前提是符合条件新插在左端a[i]要小于之前的数，f[1][i][j]同理

接着是初状态（貌似所有区间DP初状态都得想一会），i==j肯定只有一种可能，所以把f[0][i][i]都置为1。为什么不把f[1][i][i]也置为1呢，因为i==j代表只有一个人时的方案，只有一个人时只有一种可能，总方案数f[0][i][i]+f[1][i][i]=1

参考于洛谷第一篇博客

代码：

/*#!/bin/sh
dir=$GEDIT_CURRENT_DOCUMENT_DIR
name=$GEDIT_CURRENT_DOCUMENT_NAME
pre=${name%.*}
g++ -O2 $dir/$name -o $pre -g -Wall -std=c++11
if test $? -eq 0; then
    gnome-terminal -x bash -c "time $dir/$pre;echo;read;"
fi*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=2e3+5,INF=0x3f3f3f3f;
int n,f[2][maxn][maxn],a[maxn];//0左 1右
inline int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9')s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
	return s*w;
}
int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)f[1][i][i]=1;
	for(int d=2;d<=n;d++){
		for(int i=1,j;(j=i+d-1)<=n;i++){
			if(a[i]<a[i+1])f[0][i][j]+=f[0][i+1][j];
			if(a[i]<a[j])f[0][i][j]+=f[1][i+1][j];//左端插入的情况，共两种可能
			if(a[j]>a[j-1])f[1][i][j]+=f[1][i][j-1];
			if(a[j]>a[i])f[1][i][j]+=f[0][i][j-1];//右端插入的情况，共两种可能
			f[1][i][j]%=19650827;
			f[0][i][j]%=19650827;
		}
	}
	cout<<(f[1][1][n]+f[0][1][n])%19650827;

}

over～