微积分入门（"SX"T版）

　　哎，微积分，表示暂时并没有很深入的研究……虽然高中有教，但是好像跟小西瓜学的顺序不太一样，嗯……教微积分之前不应该把极限学下来么……不管了，本文按傻X腾的理解来搞吧。

　　极限……大学的东西喔，我们先来认识一个符号：lim ，表示求极限，一般会在lim的下方写上变量和趋近值(例如n→0表示n趋向于0，n→∞表示n趋向于无穷大)，然后会在后面跟上一个式子，表示要求你求出当变量趋近于某个值时，后面式子的值。

　　我相信以西瓜趋近于0的智商是不可能直接看懂以上文字的，于是乎，例题来得好些：求lim(n→0)1/n，大家都知道，n大于0且很小的时候，1/n的值是很大的，那么……当n趋近于0的时候，1/n就趋近于无穷大了嘛，所以lim(n→0)1/n=∞。但是，如果n趋向于0，那么它到底是从大于0的部分趋近呢，还是从小于0的部分趋近呢？这两种的区别是很大的，于是，我们会在0后面加上一个+号或-号来表示这两种情况，刚才的式子实际上是lim(n→0+)1/n=∞，而lim(n→0-)1/n=-∞。

　　再来个例题，lim(n→∞) ∑(1≤i≤n)i/2^i，刚学那会纠结这题挺久，后来听知高中有一个常用的方法：错位相消。于是我发现我傻了，设原式为S，那么 S=2S-S=lim(n→∞)(∑(1≤i≤n)i/2^(i-1)-∑(1≤i≤n)i/2^i)=1+lim(n→∞)∑(1≤i≤n)1/2^i=1+1=2 （大神们不要嘲讽西瓜里面都是水……）。

　　极限学深了有很多东西，比如说三角函数相关的极限(lim(n→0)sin(n)=0之类的)，再然后，求极限有个很好使的洛必达法则，它直接给出当∞/∞，0/0，0*∞之类情况的公式（导数相关），然后就可以很简便地算出来，这些东西以后的日志里再说吧。

　　 接下来进入正题，微积分。微积分发明的段子（包括牛顿和莱布尼茨的争执）相信大家都知道，我就不说了（其实是懒）。嗯？微积分分为微分和积分，是互逆的东西。微分就是知道原函数，要求出它的导函数（就是原函数的变化率），按照定义来是需要用到极限的：f(x)'=lim(n→0)[f(x+n)-f(x)]/n，剩下的就是极限的计算了。

　　很显然，一次函数的导函数是常函数(f(x)=kx，那么f(x)'=k)。二次函数的话我给个例子：f(x)=x^2，那么f(x)'=lim(n→0)[(x+n)^2-x^2]/n=lim(n→0)(x^2+n^2+2xn-x^2)/n=lim(n→0)(n^2+2xn)/n=lim(n→0)n+2x=2x，其他类推就行。特殊的，(e^x)'=e^x（利用e的定义e=lim(n→∞)(1+1/n)^n可以很容易求得），(ln x)'=1/x（过程中构造个e出来就行）。如果ln x的导数推出来，那么一般的对数函数也是可以推出(loga x)'=x^(-1)/lna，指数函数的话，构造一下对数也是可以很容易求出来的：(a^x)'=(lna)*(a^x)。另外，有公式(x^n)'=n*x^(n-1)，还有复合函数的导数=外层导*内层导，两个函数相加导函数显然相加，相乘的话就是两个导函数分别乘原函数再相加（自己求一下极限可以证明）。

　　积分是微分的逆运算，即知道一个函数的导函数求它的原函数。事实上原函数某个点的函数值就是导函数图像截至这个点与坐标轴所围的面积，利用分割矩阵的方式可得公式：∫(a,b) f(x).dx=lim(n→∞)∑(1≤i≤n)f(a+(b-a)*i/n)*(b-a)/n，这表示图像在[a,b]上截出的面积，其运算于微分互逆，也没什么好说的（毕竟西瓜这么水），这篇日志先到此为止，以后可能再做深入（其实是马上要上课了）。

完……

By Swm_sxt From Enceladus