二叉树Binary_Tree(1):二叉树及其数组实现
定义
二叉树:
二叉树是一种特殊的树。二叉树的特点是每个结点最多有两个儿子,左边的叫做左儿子,右边的叫做右儿子,或者说每个结点最多有两棵子树。更加严格的递归定义是:二叉树要么为空,要么由根结点、左子树和右子树组成,而左子树和右子树分别是一棵二叉树。 下面这棵树就是一棵二叉树。
概念图
树具有的性质:n 个结点有 n-1 条边
推论:若树有 n 个结点,则它有 2n 个指针域,有 n+1 个已使用的指针域,有 n-1 个空指针域
深度(高度):
这里引入深度的概念,我们规定根结点的深度为1,则其子结点的深度为2,子结点的子结点的深度为3......依次类推。
二叉树的两种类型
1.满二叉树:一颗深度为h且有(2^h)-1个结点的二叉树
性质:1.若叶子结点有 n 个,则总结点数为 2n-1
2.若结点有 n 个,则树高为 ⌊log2n⌋ + 1
2.完全二叉树:设高度为h的一棵树,除了第h层外,其他第2~(h-1)层都达到最大结点数,第h层从右向左缺失若干个结点,那么这棵树为完全二叉树。我们可以认为满二叉树为完美的完全二叉树
完全二叉树的几个例子
性质:1.若结点有 n 个,则树高为 ⌊log2n⌋ + 1
2.若树高为 h, 则总结点数 n ≤ 2h - 1
3. 若树的深度为 k ,则第 k 层有 2k-1 个结点
推论:若结点有 n 个,则叶子结点有 ⌊n/2⌋ 个
完全二叉树最大的优点是可以通过父(子)结点编号求得子(父)结点编号。
数组实现
概念图
法一:
给定一个数组a[MAXSIZE],若父结点为a[k] (k != 0),则其左子结点为a[2k],右子结点为a[2k+1],左子结点的左子结点为a[(2^2)*k],左子结点的右子结点为a[(2^2)*k+1],右子结点的左子结点为a[(2^2)*k+2],右子结点的右子结点为a[(2^2)*k+3]......
可以推导出,深度为n的第一个结点的左子结点(位于n+1层)为a[(2^n)*k],另一个子结点即右子结点为a[2^n)*k+1]
那么我们要求出深度为n+1时的任一结点,只要将其数组下标与深度的关系得出即可列出一个等式,令返回值==等式值即可,时间复杂度为O(1)
法二:
通过上图我们发现如果完全二叉树的一个父结点编号为k,那么它左儿子的编号就是2*k,右儿子的编号就是2*k+1。如果已知儿子(左儿子或右儿子)的编号是x,那么它父结点的编号就是x/2,注意这里只取商的整数部分。在C语言中如果除号‘/’两边都是整数的话,那么商也只有整数部分(即自动向下取整),即4/2和5/2都是2。另外如果一棵完全二叉树有N个结点,那么这个完全二叉树的高度为log2 N简写为log N,即最多有log N层结点。
代码如下:
for (i = ; i < (int) pow (,k) - ; i++) //数组索引从1开始
cin >> a[i]; //注意最后一个叶子结点之前的空结点也需要标出来,假设上面的概念图中结点2的右孩子5为空,则数组存储为 1 2 3 4 空 6,否则会造成结构缺失
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