Jacobian矩阵、Hessian矩阵和Newton's method

在寻找极大极小值的过程中，有一个经典的算法叫做Newton's method，在学习Newton's method的过程中，会引入两个矩阵，使得理解的难度增大，下面就对这个问题进行描述。

1， Jacobian矩阵矩阵

对于一个向量函数F：$R_{n}$ -> $R{m}$是一个从欧式n维到欧式m维空间的函数（好像有点难理解，请看下面），这个函数由m个实函数组成，每一个函数的输入自变量是n维的向量，即$(y_{1}(x_{1},\cdots,x_{n}), \cdots,y_{m}(x_{1},\cdots,x_{n}))^\mathrm{T}$，这些函数的偏导数（如果存在）将组成一个 m × n 的矩阵，称这个矩阵为 Jacobian矩阵

$J_{F}(x_{1},\cdots,x_{n}) = \left[ \begin{matrix}
\frac{∂y_{1}}{∂x_{1}}&\cdots&\frac{∂y_{1}}{∂x_{n}}\\
\vdots&\cdots&\vdots\\
\frac{∂y_{m}}{∂x_{1}}&\cdots&\frac{∂y_{m}}{∂x_{n}}
\end{matrix}\right]$

Jacobian矩阵的形式比较好理解;

首先我们已经有了 m × 1 的函数向量

$\left[ \begin{matrix}
y_{1}\\
\vdots\\
y_{m}
\end{matrix}\right]$

具体到每一个函数而言， 函数值y是标量， 对函数的每一个自变量 $x_{1},\cdots,x_{n}$求偏导，并将求偏导的结果横向放成一排，因为有 m 个函数，一共有 m 排：

$\left[ \begin{matrix}
\frac{∂y_{1}}{∂x_{1}}&\cdots&\frac{∂y_{1}}{∂x_{n}}\\
\vdots&\cdots&\vdots\\
\frac{∂y_{m}}{∂x_{1}}&\cdots&\frac{∂y_{m}}{∂x_{n}}
\end{matrix}\right]$

下面来讨论一下这个矩阵的几何意义： 首先看Jacobian的每一行：

每一行的节点值是函数在对应参数下的偏导，以向量的角度可以理解为梯度，梯度指向方向导数最大的方向，该最大值即为梯度向量的模

设 $\vec{u}$ 是梯度向量， $\vec{v} = x - p$，$\vec{t}$是 $\vec{v} $上的单位向量

现在已知梯度u，已知方向v，还定义了方向上的单位向量，根据方向导数的性质：

$\frac{∂f}{∂l} = \left\Vert u \right\Vert\left\Vert t \right\Vert cosθ$

再将单位向量延拓成v：

则$ <u, v> = \left\Vert u\right\Vert\left\Vert v\right\Vert cosθ = \frac{∂f}{∂l}  \left\Vert v\right\Vert $

其中 $\frac{∂f}{∂l}$ 是方向导数，对应的几何意义就是切线的斜率k， $\left\Vert v \right\Vert$ 是梯度方向上的递增向量，对应 $\Delta x$，最后乘积的结果就是 $\Delta y$

通常，在点p的一个很小的范围内，我们认为函数y是线性的，可以用一个线性函数 y‘ 近似替代函数 y，而这个 y’ 的解析表达式就是：

$y' ≈ y_{p} + k\Delta x = y_{p} + <u, v>$

然后把 m 个函数都放在一起考虑， 用矩阵乘法代替 <u, v>可以得到：

$F(x) ≈ F(p) + J_{F}(p) (x - x_{p})$

 2, Hessian矩阵

定义：Hessian矩阵是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下：

$f(x_{1}, x{2}, \cdots, x_{n})$

则Hessian矩阵为：

$H(f) = \left[\begin{matrix}
\frac{∂f^{2}}{∂x_{1}∂x_{1}}&\cdots&\frac{∂f^{2}}{∂x_{1}∂x_{n}}\\
\vdots&\cdots&\vdots\\
\frac{∂f^{2}}{∂x_{n}∂x_{1}}&\cdots&\frac{∂f^{2}}{∂x_{n}∂x_{n}}\\
\end{matrix}\right]$

那么Hessian矩阵是怎么来的呢？从定义出发：

首先 f 是一个自变量为向量的函数，函数值是一个标量（这个跟Jacobian矩阵的出发点就不一样）

对于标量函数 f， 对其求一阶偏导数，并将求导的结果按列排列

$\left[\begin{matrix}
\frac{∂f}{∂x_{1}}\\
\frac{∂f}{∂x_{2}}\\
\vdots\\
\frac{∂f}{∂x_{n}}\\
\end{matrix}\right]$

在一阶导数的基础上，对每个节点求二阶导数，并将求导的结果以列进行排列：

$\left[\begin{matrix} 
\frac{∂f^{2}}{∂x_{1}∂x_{1}}&\cdots&\frac{∂f^{2}}{∂x_{1}∂x_{n}}\\
\vdots&\cdots&\vdots\\
\frac{∂f^{2}}{∂x_{n}∂x_{1}}&\cdots&\frac{∂f^{2}}{∂x_{n}∂x_{n}}\\
\end{matrix}\right]$

3， 泰勒级数

在讲解牛顿法之前，我们先来讲一下泰勒级数，考虑如下物理模型：

有一个物体，它以某种方式运动（现在还不知道到底是什么方式），现在能够观测到的是它在一段时间内的运动轨迹 s(t)，并且有一把神器的尺子，可以测量指定点的任意阶导数（如果存在的话）：

现在我们假设物体是匀速运动，v = const

并且 速度 v = 初始时刻的速度 = s'(t)  （位移的导数是速度）

按照我们的假设，物体的运动轨迹应该就是这样：

　　

虚线是物体实际的运动轨迹，实现是拟合出来的轨迹。可以看到，在 $t = t_{0}$附近，实际轨迹与拟合轨迹比较接近，一点时间$\Delta t$后，差距就出来了：物体实际运动到了位置C，我们拟合的位置还在B

问题在哪里？因为我们假定物体是匀速运动，并且假定0点之后的速度一直等于0点的速度，但是很明显，物体实际是加速运动。

现在我们来修改我们的假设模型，物体是加速运动，并假定加速度 a = const

并且 加速度 a = 初始时刻的加速度 = s‘’(t)  （位移的二阶导数是加速度）

采用加速运动模型更能反映物体的实际运动状态，但还是达不到我们的要求

很显然，物体比我们拟合的运动还是要快一些，以我们目前的加速度还跟不上物体的速度

让我们再来修改一下假设模型，物体是加速运动，并且加速度不是恒定的，加速度的加速度 w 才是恒定的

并且 加速度的加速度 w = 初始时刻加速度的加速度 s'''（有点绕口令的感觉）

离我们的目标更进了一步，理论上，只要 n 阶导数存在，我们可以按照这种思想，不断加速加速，最终让B -> C

为了描述方便，我故意将初始状态设为 t = 0， s = 0， 其实我们也不一定非得局限于此，初始状态设为 $t = t_{0}, s = s_{0}$也是可以的

最后，我们来做一下变量替换，就成我们的泰勒级数了

$f(x) = f(x_{0}) +  f'(x_{0})(x - x_{0}) + \frac{1}{2}f''(x_{0})(x - x_{0})^{2} + \frac{1}{3!}f'''(x_{0})(x-x_{0})^{3} + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x-x_{0})^{n} + \cdots $

泰勒级数向我们展示了一种思想：函数上的任一点的值，都可以用函数上某点的值$f(x_{0})$与第n(n >= 1)阶导数  = 常数 这个模型去逼近

4， Newton‘s method

但对于非线性优化问题，牛顿法提供了一种求解的办法. 假设任务是优化一个目标函数 f , 求函数 f 的极大极小问题。直接求解 f 的极小值比较困难，常将这种问题转换为求 f’ = 0的问题。

首先我们来看一下牛顿法怎么来找 f(x) = 0的点

为了求解 f(x) = 0，常将f(x)在 $x = x_{n}$处用泰勒级数展开：

$f(x) = f(x_{n}) + f'(x_{n})(x - x_{n}) +  o(x - x_{n})^{2}$

这个公式的意思是：我知道函数上某一点 $f(x_{n})$的值是不为0的，我现在就用 $y = f(x_{n})$ + $f'(x)(x - x_{n}) $这个模型来逼近函数 f(x)(当然也可以用高阶导数，但是高阶导数徒增计算的困难外没有任何好处)

很明显，我用线性方程拟合出来的函数衰减比较快，线性函数与实际函数都是从P出发， 线性函数会提前到达 y = 0的位置，这个时候它会回过头取查看实际函数的位置，发现它还在点 S， 于是他又退回到S， 并用S处的导数重新拟合出新的线性函数，然后.....

从图形的变化趋势可以看出，算法收敛到 f(x) = 0 的点

整个过程就好比：A、B从同一起点以同样的速度向0点赛跑，A的速度是恒定的，B的耐力不好，速度越跑越慢，于是A先到达了终点，A到达之后，觉得没意思，回过头去找B（穿越过去），并且参考B当前的速度，再次在同一起跑线采用相同的速度一起向终点进发，来回折腾了几次之后，A和B终于一起手牵手走向了终点（0点）。

归纳后的算法思想为：

$x_{n+1} := x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$

从几何上很容易理解，不需要过多的说明。

牛顿法求 f(x) = 0 一般是有效的，不过我们现在的问题是求 f(x)的极大值或极小值，即 f'(x) = 0 的位置，所以牛顿法正确的使用方式是：

$x_{n+1} := x_{n} - \frac{f'(x_{n})}{f''(x_{n})}$

上面我们讨论的都是单变量问题，如果输入参数 x 是一个向量，牛顿法就演变成：

$X_{n+1} := X_{n} - \frac{J_{f}(X_{n})}{H(X_{n})} = X_{n} - H^{-1}(X_{n})J_{f}(X_{n})$

$J_{f}(X_{n})$是我们前面介绍过的 Jacobian 矩阵，对应标量方程组的一阶导数

$H(X_{n})$ 是Hessian矩阵，对应标量方程的二阶导数