Codeforces 938G Shortest Path Queries [分治，线性基，并查集]

洛谷

Codeforces

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分治的题目，或者说分治的思想，是非常灵活多变的。

所以对我这种智商低的选手特别不友好

脑子不好使怎么办？多做题吧……

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前置知识

线性基是你必须会的，不然这题不可做。

推荐再去看看洛谷P4151。

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思路

看到异或最短路，显然线性基。

做题多一些的同学想必已经想到了“洛谷P4151 [WC2011]最大XOR和路径”了。

先考虑没有加边删边的做法：

1. 做出原图的任意一棵生成树；
2. 把每个非树边和树边形成的环丢进线性基里；
3. 询问时把两点在树上的路径异或和丢进线性基里求最小异或和。

为什么要这样？见洛谷P4151题解。

有加边呢？

其实差不了多少……加一条边就往线性基里丢个环就好了。

还有删边呢？

我们按时间分治，用线段树存储每一段新加了哪些边。

每到一个点，把边都连上，然后分治左右。退出时撤销即可。

然而此时图可能不连通，连边可能连了两棵不同的树，此时需要用可撤销并查集存储树的结构和每一个点到根的异或和。由于异或有着很好的性质，我们可以把两点连边改为两棵树的根连边，而答案不变。

具体是这样的：

设要在\(x,y\)之间连权值为\(w\)的边，它们所在的树的根是\(fx,fy\)，则连一条\(fx-fy\)，权值为$w\oplus getdis(x)\oplus getdis(y) $的边。

为什么对呢？你画画图推推式子就出来了。

然后就做完了~

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代码

#include<bits/stdc++.h>
namespace my_std{
	using namespace std;
	#define pii pair<int,int>
	#define fir first
	#define sec second
	#define MP make_pair
	#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
	#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
	#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
	#define sz 202020
	typedef long long ll;
	template<typename T>
	inline void read(T& t)
	{
		t=0;char f=0,ch=getchar();
		double d=0.1;
		while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
		while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
		if(ch=='.')
		{
			ch=getchar();
			while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();
		}
		t=(f?-t:t);
	}
	template<typename T,typename... Args>
	inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
	void file()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		freopen("a.txt","r",stdin);
		#endif
	}
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n,m,Q;
map<pii,int>M;
struct hh{int f,t,w;hh(int ff=0,int tt=0,int ww=0){f=ff,t=tt,w=ww;}}edge[sz<<1];
int bg[sz<<1],ed[sz<<1];

struct HH
{
	int w[34];
	void ins(int x)
	{
		drep(i,30,0) if (x&(1<<i))
		{
			if (!w[i]) return (void)(w[i]=x);
			x^=w[i];
		}
	}
	int query(int x){ drep(i,30,0) if ((x^w[i])<x) x^=w[i]; return x; }
}_;

vector<hh>v[sz<<2];
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define lson ls,l,mid
#define rson rs,mid+1,r
void insert(int k,int l,int r,int x,int y,hh e)
{
	if (x<=l&&r<=y) return (void)v[k].push_back(e);
	int mid=(l+r)>>1;
	if (x<=mid) insert(lson,x,y,e);
	if (y>mid) insert(rson,x,y,e);
}
int qx[sz],qy[sz];
int fa[sz],f[sz],dep[sz];
int getfa(int x){return x==fa[x]?x:getfa(fa[x]);}
int getdis(int x){return x==fa[x]?0:f[x]^getdis(fa[x]);}
struct hhh{int x,y;bool s;};
void solve(int k,int l,int r,HH G)
{
	stack<hhh>S;
	rep(i,0,(int)v[k].size()-1)
	{
		int x=v[k][i].f,y=v[k][i].t,w=v[k][i].w;
		int fx=getfa(x),fy=getfa(y);
		w^=getdis(x)^getdis(y);
		if (fx==fy) G.ins(w);
		else
		{
			if (dep[fx]>dep[fy]) swap(fx,fy),swap(x,y);
			hhh cur=(hhh){fx,fy,0};
			fa[fx]=fy;f[fx]=w;
			if (dep[fx]==dep[fy]) ++dep[fy],cur.s=1;
			S.push(cur);
		}
	}
	if (l==r) printf("%d\n",G.query(getdis(qx[l])^getdis(qy[l])));
	else
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		solve(lson,G);solve(rson,G);
	}
	while (!S.empty()) f[fa[S.top().x]=S.top().x]=0,dep[S.top().y]-=S.top().s,S.pop();
}

int main()
{
	file();
	int x,y,z;
	read(n,m);
	rep(i,1,n) fa[i]=i;
	int c=m,tim=1;
	rep(i,1,m) read(x,y,z),M[MP(x,y)]=i,bg[i]=1,ed[i]=-1,edge[i]=hh(x,y,z);
	read(Q);
	rep(i,1,Q)
	{
		read(z,x,y);
		if (z==1)
		{
			read(z);
			M[MP(x,y)]=++c;bg[c]=tim;ed[c]=-1;
			edge[c]=hh(x,y,z);
		}
		else if (z==2) ed[M[MP(x,y)]]=tim-1;
		else qx[tim]=x,qy[tim]=y,++tim;
	}
	--tim;
	rep(i,1,c) if (ed[i]==-1) ed[i]=tim;
	rep(i,1,c) if (bg[i]<=ed[i]) insert(1,1,tim,bg[i],ed[i],edge[i]);
	solve(1,1,tim,_);
	return 0;
}